21.06.06 训练赛

B Reverse Game

题意

​ 一个博弈游戏，开始给定一个长度为n的01字符串，每次操作可以选择如下形式中的子串：10,110,100,1010。选定后将其翻转，即为一次操作。双方轮流操作，某方不能操作即失败。Alice先手，对于给定的字符串，谁胜？(1 leqslant n leqslant 10^6)。

题解

签到。
首先显然，最终局面一定是如00000...11111...的形式。如果我们把相邻两个数交换记为一次操作，那么题意所说的操作可以分解为一或两次操作，如10变为01为1次操作，100变为001为2两次操作。设(sum)={变成最终局面需要执行的操作次数}，那么每次操作要么让(sum-1),要么让(sum-2)。同时我们可以发现，在(sum geqslant 3)的时候，先手如果让(sum-1),后手必然能够让(sum-2)。反之亦然。这就是经典博弈问题之一了。(Ans=(sum:mod:3==0?Bob: Alice))。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6;
char S[maxn+8];
 
int main()
{
	  scanf("%s",S+1);
	  int tmp=0,cnt=0,len=strlen(S+1);
	  for (int i=1;i<=len;i++)
		    {
			      if (S[i]=='1') tmp++;
			      else cnt=(cnt+tmp)%3;
		    }
	  cnt?puts("Alice"):puts("Bob");
	  return 0;
}

E Divisible by 3

题意

给你一个序列([a_i])，问有多少子序列([l,r])满足(weight_{l,r}=sum_{l leqslant ileqslant jleqslant r}a_i imes a_j equiv 0pmod3)。序列长在([1,5 imes 10^5])范围内。

题解

签到。

定义(f_{i,j,k})为有多少个以i为结尾的子序列，满足(weight=j mod 3),且序列和为(k)那么转移就很简单了。具体看代码。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=5e5;
int n;
ll f[maxn+8][3][3];
int a[maxn+8];

int read()
{
	  int x=0,f=1;char ch=getchar();
	  for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
	  for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	  return x*f;
}

int main()
{
	  n=read();
	  for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read()%3;
	  for (int i=1;i<=n;i++)
		    {
			      for (int j=0;j<3;j++)
						for (int k=0;k<3;k++)
						  f[i][(j+k*a[i])%3][(k+a[i])%3]+=f[i-1][j][k];
			      f[i][0][a[i]]++;
		    }
	  ll ans=0;
	  for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=0;j<3;j++) ans+=f[i][0][j];
	  printf("%lld
",ans);
	  return 0;
}

M Mistake

题意

给定n个点m条边的有向无环图，给一个n*k的序列，保证每个(1 leqslant i leqslant n)都在序列中出现k次。将这个序列划分为k个序列（划分后序列中的数相对顺序不变），满足每个序列都是这张有向无环图的合法拓扑序。保证存在合法构造。(1 leqslant nkleqslant 5 imes 10^5)

题解

看起来很难实际很sb的一题。

首先为了满足拓扑序，其实就是对于序列给出了一些诸如x必须在y之前出现的限制。那么我们考虑这样构造：对于某一个位置上的数x，它属于的编组序号就是数x到这个位置出现的次数。我们利用反证法证明正确性：如果存在两个数x,y和他们第i次出现的位置(pos_{x,i}、pos_{y,i})，如果x必须出现在y之前而(pos_{x,i}>pos_{y,i})，那么可知将(pos_{x,i})也不能和(pos_{y,i})之前的y放在同一编组，同时如果跟(pos_{y,i})之后的某一个(pos_{y,j})放在同一编组，那么(pos_{y,i})又会和(pos_{x,j})冲突（因为(i<j)，由构造方法可知(pos_{x,j} > pos_{x,i} > pos_{y,i})）。所以存在合法的构造当且仅当这种构造方法合法。

代码实现就简单了（所以和图有什么关系）。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e5;
int id[maxn+8];
int n,k,m;

int read()
{
	  int x=0,f=1;char ch=getchar();
	  for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
	  for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	  return x*f;
}

int main()
{
	  n=read(),k=read(),m=read();
	  for (int i=1;i<=m;i++) {read(),read();}
	  for (int i=1;i<=n*k;i++)
		    {
			      int x=read();
			      printf("%d ",++id[x]);
		    }
	  return 0;
}