自底向上分析之算符优先分析法
说明：以老师PPT为标准，借鉴部分教材内容，AlvinZH学习笔记。
基本过程
1. 一般方法：采用自左向右地扫描和分析输入串，从输入符号串开始，通过反复查找当前句型的句柄（最左简单短语），并利用有关规则进行规约。
分析过程如下，关键步骤是第一点！
- 找出当前句型的句柄 x （或句柄的变形）；
- 找出以 x 为右部的规则 X::= x ；
- 把 x 规约为X，产生语法树的一枝。
2. 自底向上分析也叫作移进-规约分析，简单的例子中，识别句柄的过程，主要看栈顶符号串是否形成规则的右部。这种做法形式上正确，但实际上不一定正确。原因：不能认为对于句型xuy，若有U::=u，就断定u是简单短语或者u是句柄，也就是说这是一个必要不充分条件。
算符优先分析（OPP）
1. OPP：简单直观，广为使用的自底向上分析方法，易手工实现。可用于一大类上下文无关文法。
分析器的结构：符号栈、优先关系矩阵、分析程序。
2. 特点：预先规定相邻终结符之间的优先关系，利用优先关系确定句型的“句柄”并进行规约。
注意：
- 这里的“句柄”有可能不是真正的句柄，这种规约也未必是严格的最左规约。（后续解释）
- 对于二义性文法，如 (E ::= E+E | E-E | E*E | E/E | (E) | i)，可以通过定义优先关系和左结合原则，OPP可分析之。
3. 终结符之间优先关系定义
- a = b：a的优先级等于b
- a < b：a的优先级小于b
- a > b：a的优先级大于b
注意： 这个关系是单方面的，也就是说这里的 “a<b” 并不意味着 “b>a”，同样的，“a=b” 也不意味着 “b=a”。
4. 优先关系举矩阵：左终结符（栈内）、右终结符（栈外），值为优先关系，空表示两个终结符不能相邻。
使用方法：当栈顶项（或次栈顶项） 终结符的优先级大于栈外的终结符的优先级则进行规约，否则移进。
出错情况：
- 相邻终结符之间无优先关系。
- 对双目运算符进行规约时，符号栈中无足够项。
- 非正常结束状态。
5. 优先函数：文法终结符之间的优先关系可以不用矩阵表示，而是采用两个邮箱函数来表示：f(x)表示栈内优先函数，g(x)表示栈外优先函数。把优先关系的比较转换成数值的比较。
特点：优先函数值不唯一，只要相互之间数值大小表示优先关系就行。
优点：节省内存空间，易于比较（数值比较）
缺点：可能掩盖错误，由于优先关系变为数值，原先可能不存在的优先关系现在也可比较了。可以通过特判避免这个问题。
OG与OPG定义
1. 算符文法（OG）：若文法G中没有形如 (U ::= ···VW···) 的规则（V,W∈Vn），则称G为算符文法。
直观理解：算符文法不允许两个非终结符相邻！
2. 优先关系定义：设嗡文法G是一个OG文法，a,b∈Vt，U,V,W∈Vn。
-
a = b： iff 文法中有形如 (U∷=…ab…) 或 (U∷=…aVb…) 的规则。
-
a < b： iff 文法中有形如 (U∷=…aW…) 的规则，其中 (W =+> b…) 或 (W =+> Vb…)。
-
a > b： iff 文法中有形如 (U∷=…Wb…) 的规则，其中 (W =+> …a) 或 (W =+>…aV)。
TIP：只是定义，第二第三条实际用起来真的难用，还是继续看下去，用FIRSTVT和LASTVT高级操作吧！
3. 算符优先文法（OPG）：设有一OG文法，如果在任意两个终结符之间，至多只有上述关系中的一种，则称该文法为算符优先文法（OPG）。
构造优先关系矩阵
1. 通过检查每一条规则，'=' 优先关系很容易求得，但是 '>' 和 '<' 就复杂了，需要引入两个集合辅助：FIRSTVT、LASTVT。
FIRSTVT( U ) = { b | U =+> b…或U =+> Vb…, b∈Vt , V∈Vn}
LASTVT( U ) = { a | U =+> …a 或U =+> …aV, a∈Vt , V∈Vn}
若文法有规则形如 (W∷= ...a U...)，对任何 b∈FIRSTVT( U )，则有： a < b。
若文法有规则形如 (W∷= ...U b...)，对任何 a∈LASTVT( U )，则有： a > b。
2.构造FIRSTVT集合
- 若有规则 U∷= b… 或 U∷= V b…，则 b∈FIRSTVT(U)；
- 若有规则 U∷= V… 且 b∈FIRSTVT(V), 则 b∈FIRSTVT(U)。
3.构造LASTVT集合
- 若有规则 U::=…a 或 U::=…aV，则 a∈LASTVT(U)；
- 若有规则 U::=…V，且 a∈LASTVT(V) ，则 a∈LASTVT(U)。
4.构造算符优先矩阵
FOR 每条规则U::= x1 x2…xn DO
FOR i:=1 TO n-1 DO
BEGIN
IF xi和xi+1均为终结符, THEN 置 xi=xi+1
IF i≤n-2，且xi和xi+2都为终结符号但xi+1为非终结符号 THEN 置 xi=xi+2
IF xi为终结符号xi+1为非终结符号 THEN
FOR FIRSTVT(xi+1)中的每个b DO 置xi<b
IF xi为非终结符号xi+1为终结符号 THEN
FOR LASTVT(xi)中的每个a DO 置a>xi+1
END
5. 举个例子
分析句子 (i*(i+i))。
分析算符优先分析法
1. 提出问题：这种分析算法并不是严格的最左规约，也就是说，每次规约的未必是当前句型的句柄。那它规约的是什么？
答案：最左素短语。
先给出分析过程的特点（不予证明）：
- 每次规约的最左子串，确实是当前句型的最左素短语；
- 规约的不都是真正的句柄（有时候是只是偶然）；
- 没有完全按规则进行规约，因为素短语不一定是简单短语（有时候是只是偶然）
2. 素短语：句型的素短语是一个短语，它至少包含有一个终结符号，并且除它自身以外不再包含其它素短语。
例如：对于句型T+TF+i，通过语法树可以轻易找到所有短语：① T + T * F + i；② T + T * F；③ T；④ T * F；⑤ i。①包含其它短语②包含其它短语③不包含终结符④是素短语⑤是素短语。最后最左素短语就是④TF。然而该句型的句柄确实③T。
3. 形式化寻找最左素短语：设有OPG文法句型：#N1 a1 N2 a2…Nn an Nn+1 #，其中Ni为非终结符（可以为空），ai为终结符。
定理：一个OPG句型的最左素短语是满足下列条件的最左子串：Nj aj … Ni ai Ni+1，其中aj-1 < aj ，aj = a . . . . j+1 , aj+1 = aj+2 , … , ai-2 = ai-1 , ai-1 = ai， ai.> ai+1。
4. 实现算符优先分析法：找句型的最左子串（最左素短语）并进行规约。
具体实现：当栈内终结符的优先级＜或＝栈外终结符的优先级时，移进；当栈内终结符的优先级＞栈外终结符的优先级时，表明找到了素短语的尾，再往前找其头，并进行规约。
引用说明
- 邵老师课堂PDF
- 《编译原理级编译程序构造》