题解 第一计数

题目描述

众所周知(mathcal{Ame})__喜欢打牌，尤其喜欢玩(szb)，但是这题和打牌没什么关系。

此为第一计数。

有 (n) 个球和 (m) 个盒子，要全部装进盒子里。
还有一些限制条件，那么有多少种方法放球？（与放的先后顺序无关）

限制条件如下：

( ext{I})：球之间互不相同，盒子之间互不相同。

( ext{II})：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

( ext{III})：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

( ext{IV})：球之间互不相同，盒子全部相同。

( ext{V})：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

( ext{VI})：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

( ext{VII})：球全部相同，盒子之间互不相同。

( ext{VIII})：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

( ext{IX})：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

( ext{X})：球全部相同，盒子全部相同。

( ext{XI})：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

( ext{XII})：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

由于答案可能很大，所以要对 (998244353) 取模。

输入格式

输入一行，两个数字，分别为(n)和(m)

输出格式

输出十二行，每行一个整数，对应每一种限制条件的答案。

样例输入:

13 6

样例输出:

83517427
0
721878522
19628064
0
9321312
8568
0
792
71
0
14

数据范围与提示

对于(50\%)数据，(n,mle 1000)

对于(100\%)数据，(n,mle 10000)

解题思路

组合数学入门题大合集对于(12)种情况讨论即可

( ext{I})：球之间互不相同，盒子之间互不相同。

显然的我们有总方案数为(m^n)

( ext{II})：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

考虑每次放进一个盒子之后都减一，最后为(m imes (m-1) imes (m-2)..... imes (m-n+1)=m^{underline{n}})

( ext{III})：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

考虑第二类斯特林数，对于(egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix})的意义为将有(n)个物品的集合划分到(m)个非空集合，可以看做盒子相同的情况，乘上(m!)为盒子不同的情况

同时也可以考虑容斥：枚举多少个盒子空了，然后剩下的部分就是第一个部分了。然后就可以得到下面这个式子：

[sum_{i=0}^{m} (-1)^{i} inom{m}{i} (m-i)^{n} ]

( ext{IV})：球之间互不相同，盒子全部相同。

用第二类斯特林数枚举装了多少个球，即为

[sum_{i=1}^{m} egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix} ]

( ext{V})：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

无论球在哪个盒子都是一样的，即为

[[nle m] ]

( ext{VI})：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

显然直接第二类斯特林数

[egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix} ]

或者二项式反演

[ans_6=S_2(n,m)=frac{1}{m!}ans_3=frac{1}{m!}sum_{i=0}^m(-1)^iinom{m}{i}(m-i)^n ]

此为第二类斯特林数通项公式。

( ext{VII})：球全部相同，盒子之间互不相同。

隔板法即可，最后答案为

[inom{n+m-1}{m-1} ]

( ext{VIII})：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

相当于选(n)个盒子装球，方案为

[inom{m}{n} ]

( ext{IX})：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

同样利用插板法，我们先钦定每个盒子里头放一个球，剩下 (n-m) 个球按照第七个做就行了。

[inom{n-1}{m-1} ]

( ext{X})：球全部相同，盒子全部相同。

设 (dp_{n,m}) 将 (n)个球 分到 (m) 个相同的方案数。那么我们要的答案就是 (dp_{n,m})

显然有一个(n^2)的(dp)转移柿子为

[dp_{i,j} = dp_{i-j,j} + dp_{i,j-1} ]

两者的意思分别为：对于有空盒子的情况去掉一个空盒子（等号右边），无空盒子则从每个盒子里减(1)个球。

可以对其构造生成函数，

[F_i(x)=dp_{0,i}+dp_{1,i}x+dp_{2,i}x^{2}+dp_{3,i}x^{3} dots ]

然后不难发现

[F_i(x) = F_{i-1}(x) imes (1+x^i+x^{2i}+x^{3i}dots) ]

[F_i(x) = frac{F_{i-1}(x)}{1-x^{i}} ]

于是就有

[F_{i}(x) = prod_{j=1}^{i} frac{1}{1-x^{j}} ]

直接暴力多项式(exp)即可做到(O(nlogn))

( ext{XI})：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

和第五个是一样的东西

[[nleq m] ]

( ext{XII})：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

我们强制现在每个盒子里头放一个球，就是和( ext{X})同样的问题了。答案即为 (dp_{n-m,m})

#include<bits/stdc++.h>
    
#define LL long long
    
#define _ 0
    
#define R register

using namespace std;
    
/*Grievous Lady*/
    
template <typename _n_> void mian(_n_ & _x_){
    _x_ = 0;int _m_ = 1;char buf_ = getchar();
    while(buf_ < '0' || buf_ > '9'){if(buf_ == '-')_m_ =- 1;buf_ = getchar();}
    do{_x_ = (_x_ << 1) + (_x_ << 3) + buf_ - '0';buf_ = getchar();}while(buf_ >= '0' && buf_ <= '9');_x_ *= _m_;
}

// #define int long long

#define mod 998244353

const int kato = 1e6 + 10;

int n , m , len;

int fac[kato] , inv[kato] , fac_inv[kato] , A[kato] , B[kato] , S[kato] , F[kato];

#define init() 
{ 
    for(len = 1;len <= (max(n , m) << 1);len <<= 1); 
    fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = fac_inv[0] = fac_inv[1] = 1; 
    for(R int i = 2;i <= n + m;i ++){ 
        fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod; 
        inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; 
        fac_inv[i] = 1LL * fac_inv[i - 1] * inv[i] % mod; 
    } 
    for(R int i = 0;i <= n;i ++){ 
        A[i] = (i & 1) ? mod - fac_inv[i] : fac_inv[i]; 
        B[i] = fac_inv[i] * 1LL * quick_pow(i , n) % mod; 
    } 
}

inline int quick_pow(int a , int b){
    R int res = 1;
    for(; b ; b >>= 1 , a = 1LL * a * a % mod){
        if(b & 1){
            res = 1LL * res * a % mod;
        }
    }
    return res;
}

inline int c(int a , int b){
    if(a < b) return 0;
    return 1LL * fac[a] * fac_inv[b] % mod * fac_inv[a - b] % mod; 
}

inline void NTT(int *y , int len , int opt){
    R int *rev = new int[len];
    rev[0] = 0;
    for(R int i = 1;i < len;i ++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));
    for(R int i = 0;i < len;i ++) if(i < rev[i]) swap(y[i] , y[rev[i]]);
    for(R int i = 1;i < len;i <<= 1){
        R int g1 = quick_pow(3 , (mod - 1) / (i << 1));
        for(R int j = 0;j < len;j += (i << 1)){
            for(R int k = 0 , g = 1;k < i;k ++ , g = g * 1LL * g1 % mod){
                R int res = y[i + k + j] * 1LL * g % mod;
                y[i + k + j] = ((y[j + k] - res) % mod + mod) % mod;
                y[j + k] = (y[j + k] + res) % mod;
            }
        }
    }
    if(opt == -1){
        reverse(y + 1 , y + len);
        for(R int i = 0 , inv = quick_pow(len , mod - 2);i < len;i ++) y[i] = y[i] * 1LL * inv % mod;
    }
    delete []rev;
}

void poly_inv(int *a , int len){
    if(len == 1){ a[0] = quick_pow(a[0] , mod - 2); return;}
    R int len1 = len / 2;
    R int *g = new int[len * 2];
    for(R int i = 0;i < len1;i ++) g[i] = a[i];
    for(R int i = len1;i < len * 2;i ++) g[i] = 0;
    poly_inv(g , len1);
    for(R int i = len1;i < len * 2;i ++) g[i] = 0;
    NTT(g , len * 2 , 1) , NTT(a , len * 2 , 1);
    for(R int i = 0;i < len * 2;i ++) a[i] = ((2 * g[i] % mod - a[i] * 1LL * g[i] % mod * g[i] % mod) % mod + mod) % mod;
    NTT(a , len * 2 , -1);
    for(R int i = len;i < len * 2;i ++) a[i] = 0;
    delete []g;
}

inline void poly_dev(int *a , int len){
    for(R int i = 1;i < len;i ++) a[i - 1] = a[i] * 1LL * i % mod; 
    a[len - 1] = 0;
}

inline void poly_dev_inv(int *a , int len){
    for(R int i = len + 1 ; i ; i --) a[i] = a[i - 1] * 1LL * inv[i] % mod;
    a[0] = 0;
}

inline void get_ln(int *a, int len){
    R int *b = new int[len * 2];
    for(R int i = 0;i < len;i ++) b[i] = a[i];
    for(R int i = len;i < len << 1;i ++) b[i] = 0;
    poly_dev(b , len); poly_inv(a , len);
    NTT(a , len << 1 , 1); NTT(b , len << 1 , 1);
    for(R int i = 0;i < len << 1;i ++) a[i] = a[i] * 1LL * b[i] % mod;
    NTT(a , len << 1 , -1);
    poly_dev_inv(a , len);
    for(R int i = len;i < len << 1;i ++) a[i] = 0;
    delete []b;
}


void poly_exp(int *a , int len){
    if(len == 1) { a[0] ++; return; }
    int len1 = len / 2;
    int *g = new int[len << 1];
    for(int i = 0;i < len1;i ++) g[i] = a[i];
    for(int i = len1;i < len << 1;i ++) g[i] = 0;
    poly_exp(g , len1);
    for(int i = len1;i < len << 1;i ++) g[i] = 0;
    int *lng = new int[len << 1];
    for(int i = 0;i < len << 1;i ++) lng[i] = g[i];
    get_ln(lng , len); a[0] ++;
    for(int i = 0;i < len;i ++){ a[i] -= lng[i]; if (a[i] < 0) a[i] += mod; }
    NTT(a , len << 1 , 1); NTT(g , len << 1 , 1);
    for(int i = 0;i < len << 1;i ++) a[i] = a[i] * 1LL * g[i] % mod;
    NTT(a , len << 1 , -1);
    for(int i = len;i < len << 1;i ++) a[i] = 0;
    delete []g;
}

inline int solve_I(){
    return quick_pow(m , n);
}

inline int solve_II(){
    R int res = 1;
    for(R int i = m ; i >= m - n + 1 ; i --){
        res = 1LL * res * i % mod;
    }
    return res;
}

inline int solve_III(){
    return 1LL * S[m] * fac[m] % mod;
}

inline int solve_IV(){
    int res = 0;
    for(R int i = 1;i <= m;i ++){
        res = (res + S[i]) % mod;
    }
    return res % mod;
}

inline int solve_V(){
    return n > m ? 0 : 1;
}

inline int solve_VI(){ 
    return n < m ? 0 : S[m]; 
}

inline int solve_VII(){
    return c(n + m - 1 , m - 1);
}

inline int solve_VIII(){
    return c(m , n);
}

inline int solve_IX(){
    return c(n - 1 , m - 1);
}

inline int solve_X(){
    return F[n];
}

inline int solve_XI(){
    return n > m ? 0 : 1;
}

inline int solve_XII(){
    return n < m ? 0 : F[n - m];
}

inline int Ame_(){
    mian(n) , mian(m); init();
    NTT(A , len , 1); NTT(B , len , 1);
    for(R int i = 0;i < len;i ++) A[i] = 1LL * A[i] * B[i] % mod;
    NTT(A , len , -1);
    for(R int i = 0;i <= n;i ++) S[i] = A[i];
    for(R int i = 1;i <= m;i ++){
        for(R int j = i;j <= n;j += i){
            F[j] = (F[j] + inv[j / i]) % mod;
        }
    }
    poly_exp(F , len / 2); 
    printf("%d
" , solve_I());
    printf("%d
" , solve_II());
    printf("%d
" , solve_III());
    printf("%d
" , solve_IV());
    printf("%d
" , solve_V());
    printf("%d
" , solve_VI());
    printf("%d
" , solve_VII());
    printf("%d
" , solve_VIII());
    printf("%d
" , solve_IX());
    printf("%d
" , solve_X());
    printf("%d
" , solve_XI());
    printf("%d
" , solve_XII());
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return ~~(0^_^0);
}
    
int Ame__ = Ame_();
    
signed main(){;}