[题解] poj 3241 Object Clustering (kruskal曼哈顿距离最小生成树+树状数组)

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　http://poj.org/problem?id=3241

#Object Clustering

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Description

We have N (N ≤ 10000) objects, and wish to classify them into several groups by judgement of their resemblance. To simply the model, each object has 2 indexes a and b (a, b ≤ 500). The resemblance of object i and object j is defined by d_ij = |a_i - a_j| + |b_i -_ b_j_|, and then we say i is d_ij resemble to j. Now we want to find the minimum value of X, so that we can classify the N objects into K (_K _< N) groups, and in each group, one object is at most X resemble to another object in the same group, i.e, for every object i, if i is not the only member of the group, then there exists one object j (i ≠ j) in the same group that satisfies d_ij ≤ X

Input

The first line contains two integers N and K. The following N lines each contain two integers a and b, which describe a object.

Output

A single line contains the minimum X.

Sample Input

6 2
1 2
2 3
2 2
3 4
4 3
3 1

Sample Output

2

[[Submit](http://poj.org/submit?problem_id=3241)]   [[Status](http://poj.org/problemstatus?problem_id=3241)]   [[Discuss](http://poj.org/bbs?problem_id=3241)] 　 ### - 题意 - 　曼哈顿距离最小生成树上第k大的边. 　曼哈顿距离: (对于点A(x1, y1), B(x2, y2)) 　$dis(A, B) = left| x1 - x2 ight| + left| y1 - y2 ight|$. 　**(下文中$dis()$, 距离均指曼哈顿距离)** 　**(下文中$dis()$, 距离均指曼哈顿距离)** 　**(下文中$dis()$, 距离均指曼哈顿距离)** 　 ### - 思路 - 　参考题解:　 http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908 　 　直接暴力的话会有$N^2$条边, 总复杂度$O(N^2logN) (N leq 10000)$. 　果断爆炸. 　我们可以删去一些无用边. 　 　对于一个平面上的点 $i (x_i, y_i)$, 我们以它为中心把周围部分为8份. 　![][1] 　 　考虑每一份中最多有一个点与点 i 相连, 如 R1: 　 　![][2] 　设此时点A是与点 i 距离最小的点, 则为点A, i建一条边, 考虑该部分的其它点(如点B), 它们与 A 的距离显然小于与 i 的距离(如$dis(A , B) < dis(i, B)$), 所以其它点与 A 连边优于i. 　以上图三个点为例, 用两条边将它们联通的最小代价$W=dis(i,A)+dis(A,B)leq dis(i,A)+dis(i,B)$ 　$dis(i,A)+dis(A,B)= dis(i,A)+dis(i,B)$ 的情况如下:($A-B$连线垂直于$A-i$连线) 　![][3] 　所以对于每个点每一份中只需要连一条边, 由于边是无向的, 我们可以只连向右的边(也就是R1-4内的点, 点 i 向左的连线由左边的点来连), 这样就只有N*4条边了. 　继续分析R1的情况, 如何找到 A 点. 　发现首先 R1 区间内的点 k 满足 : 　 　$X_i leq X_k$ 　　 $X_k-X_ileq Y_k-Y_i$ 即 $Y_i-X_ileq Y_k-X_k$ (k为R1内任一点) 　我们在满足条件的点中找到$X+Y$最小的节点就行了. 　于是我们可以维护一个树状数组(线段树), 底层按离散化后的$Y-X$排序, 维护区间内$X+Y$的最小值, 按照先从右到左, 再从上到下的顺序插入节点并查找. 　对于R2-4三个部分, 我们可以对点进行旋转, 将它们转换为 R1 内的点. 　![如图所示][4] 　(注意看原先的R1的位置依次有R2, R3, R4的点, 这样就可以连出四个部分的边了) 　 　细节见代码. 　 ### - 代码 -

update: 一个注意,下面的代码没有离散化数组中有相等元素的情况,如果有的话要判断把id小的放前面,具体看代码中的注释.(本题大概是没有相等元素???时间太久不记得了).

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

struct edge {
	int x, y, v;
	bool operator < (const edge &tmp) const {
		return v < tmp.v;
	}
}E[N<<3];

struct point {
	int x, y, id;
	bool operator < (const point &tmp) const {
		return x == tmp.x ? y < tmp.y : x < tmp.x;
	}
}P[N];

struct lsh {
	int id, a;
	bool operator < (const lsh &tmp) const {
		return a < tmp.a;
        /*     if (a == tmp.a) return id < tmp.id;
                return a < tmp.a;
        */   	
        }
}LSH[N];

int A[N], F[N];
int MI[N], ID[N];
int n, c, sz, tot, cnt;

int lowbit (int x) { return x&(-x); }

int query(int x) {
	int ans = -1, mi = inf;
	for (; x <= n; x += lowbit(x))
		if (MI[x] < mi) {
			mi = MI[x];
			ans = ID[x];
		}
	return ans;
}

void modify(int x, int mi, int id) {
	for (; x > 0; x -= lowbit(x))
		if (MI[x] > mi) {
			MI[x] = mi;
			ID[x] = id;
		}
}
//BIT维护的是某数字代表的区间的X+Y最小值, 若一区间的不同位置最小值不同, 该区间则没有最小值(即MI数组维护的是其表示的区间都可以取到的最小值)
int find(int x) { return F[x] == x ? x : F[x] = find(F[x]); }

void join(int x, int y) {
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if (fx == fy) return;
	F[fx] = fy;
	cnt++;
}

void init (){
	sort(P + 1, P + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		LSH[i].a = P[i].y - P[i].x;
		LSH[i].id = i;
		MI[i] = inf; ID[i] = -1;
	}
}

int abs(int x, int y) {
	return x > 0 ? x : -x;
}

int dts(int x, int y) {
	return abs(P[x].x - P[y].x) + abs(P[x].y  -P[y].y);
}

void add_edge (int x, int y, int d) {
	E[++sz].x = x; E[sz].y = y; E[sz].v = d;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &c);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d%d", &P[i].x, &P[i].y);
		P[i].id = i;
	}
	for (int cas = 1; cas <= 4; ++cas) {
		if (cas == 2 || cas == 4)
			for (int i = 1; i <= n; ++i)
				swap(P[i].x, P[i].y);
		if (cas == 3)
			for (int i = 1; i <= n; ++i)
				P[i].x = -P[i].x;
		init();
		sort(LSH + 1, LSH + n + 1);//按Y-X离散化
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			A[LSH[i].id] = i; //A表示某点在BIT中的位置
		for (int i = n; i >= 1; --i) {
			int tmp = query(A[i]);
			if (tmp != -1)
				add_edge(P[tmp].id, P[i].id, dts(tmp, i));
			modify(A[i], P[i].x + P[i].y, i);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) F[i] = i;
	sort(E + 1, E + sz + 1);
	for (int i = 1; i <= sz; ++i) {
		join(E[i].x, E[i].y);
		if (cnt == n - c) {
			printf("%d
", E[i].v);
			break;
		}
	}
	return 0;
}