中国剩余定理（CRT / EXCRT）

中国剩余定理（CRT）

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中国剩余定理是用于求解诸如：

$ $ $ $ $ $ $ $

形式的同余方程组的定理。其中 (m_1, m_2 ... m_k) 是两两互质的整数。

解法

设：

[M = prod^{n}_{i = 1}m_i , M_i = frac{M}{m_i} , t_iM_i equiv 1 (\% m_i) ]

统计答案：

[ans = sum_{i=1}^{n} a_iM_it_i ]

栗子

今有物不知其数，三三数之剩二（除以三余二），五五数之剩三（除以五余三），七七数之剩二（除以七余二）。问物几何？

根据刚才的算法来解决此问题：

(1.) 从 (3) 和 (5) 的公倍数中找到被 (7) 除余 (1) 的最小数 (15)，从 (3) 和 (7) 的公倍数中找出被 (5) 除余 (1) 的最小数 (21)，从 (5) 和 (7) 的公倍数中找出被 (3) 除余 (1) 的最小数 (70)。

(2.) 用 (15) 乘以 (2)（除以 (7) 的余数），(21) 乘以 (3)（除以 (5) 的余数），(70) 乘以 (2)（除以 (3) 的余数）。三个乘积相加得到 (15 * 2 + 21 * 3 + 70 * 2 = 233)。

(3.) 用 (233) 除以 (3, 5, 7) 三个数的最小公倍数 (105)，得到的余数 (23) 就是该问题的答案。

因为不会证明，在这里放上大佬的证明： 1. 2.

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 233333;
LL n, x, y, ans = 0, Mul = 1, a[N], m[N], M[N], inv[N];

void exgcd(LL a, LL b)
{
    if(b == 0) { x = 1, y = 0; return ; }
    exgcd(b, a % b);
    LL tx = x;
    x = y, y = tx - (a / b) * y;
}

int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]), Mul *= m[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        M[i] = Mul / m[i];
        exgcd(M[i], m[i]);
        x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
        ans += x * a[i] * M[i];
    }
    printf("%lld", ans % Mul);
    return 0;
}

扩展中国剩余定理（EXCRT）

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照抄参考题解

扩展中国剩余定理是用于求解诸如：

$ $ $ $ $ $ $ $

形式的同余方程组的定理。其中 (m_1, m_2 ... m_k) 是不一定两两互质的整数。

解法

假设已经求出前 (k-1) 个方程组成的同余方程组的解为 (x)，且有

[M = prod^{k-1}_{i=1}m_i ]

（其实这里的连乘不是连乘，而是取这些数的最小公倍数）

则前 (k-1) 个方程的通解为 (x+iM)（(i) 是整数）

考虑加入第 (k) 个方程：我们需要求一个正整数 (t)，使得

[x+tM equiv a_k (\% m_k) ]

[⇒tM equiv a_k-x (\% m_k) ]

转化后的该式右边可以看做常数，因此能使用 exgcd 求解。若对于某一个 (k)，该方程无解，则这组数据无解。

注意做乘法时可能会爆，需要“龟速乘”。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 2333333;
LL n, x, y, M = 1, ans = 0, m[N], a[N];

LL gcd(LL x1, LL y1) { y1 == 0 ? x1 : gcd(y1, x1 % y1); }

void exgcd(LL a, LL b)
{
    if(b == 0) { x = 1, y = 0; return ; }
    exgcd(b, a % b);
    LL tx = x;
    x = y, y = tx - (a / b) * y;
}

LL mul(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL res = 0;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res + a) % mod;
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        x = y = 0;
        LL A = M, B = m[i], C = ((a[i] - ans) % B + B) % B;
        exgcd(A, B);
        LL Gcd = gcd(A, B), bg = B / Gcd;
        x = mul(x, C / Gcd, bg);
        ans = ans + x * M;
        M *= bg;
        ans = (ans % M + M) % M;
    }
    printf("%lld", (ans % M + M) % M);
    return 0;
}