【线性代数的几何意义】什么是线性代数

一、什么是线性代数

线性与非线性：

非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解

线性空间：

对所谓的要满足"加法"和"数乘"等八条公理的元素的集合

线性函数：

几何意义：过原点的直线、平面、超平面

代数意义：可加性、比例性

可加性（线性的可加性既是没有互相激励的累加，也是没有互相内耗的累加）

比例性（比例性又名齐次性说明没有初始值，比如电路，没有输入信号时输出也

为零，有几倍的输入量刚好就有几倍的输出量，增量是倍数关系，存量也是倍数关系）

几何意义：m=n为直线，否则为平面或者超平面

线性映射：

T在这里也叫线性算子，具体的算子比如有微分算子，积分算子，拉普拉斯算子等

二维线性函数就构成了两个二维平面之间由矩阵所确定的映射关系

1. 满足可加性和比例性
2. 在两个不同坐标系之间映射

线性变换：

如果映射是发生在一个集合上的同一个坐标系中，线性映射就被称为线性变换。

线性变换作为线性映射的特例，就是把集合上的两个坐标系合为一个。

直角坐标系下的图形清楚地显示了一个图形圆被线性变换为一个椭圆。相应的，圆上的一个向量α映射为椭圆上的向量β。

同线性映射一样，线性变换把向量变成另外一个向量，或者说把"线"变成"线"。在平面上，线性变换把原点仍变为原点（参考零点没有移动），直线仍然变为直线（没有打弯），平行线仍然是平行线，当然平行四边形仍然是平行四边形。