（算法）宝石升级问题

题目：

有一块宝石，1级升2级成功率100％，2级升3级成功率80％，3级升4级成功率60％，4级升5级成功率40％，每次升级失败时降回到1级。请问一块1级宝石升到5级平均要多少次？ 

思路：

问题：求一块1级宝石升级到5级的期望次数

1、蒙特卡洛模拟试验

考虑一下期望的定义，所有的可能的次数*出现该次数的概率之和。出现的次数可能为无穷大，但当次数达到一定数量时，期望就收敛了，因此可以通过概率的模拟试验来实现。

2、有限状态机的概率转移思想

假设dp(i,j)为1级升到5级的平均次数，则有以下递推式：

dp(1,5) = 1.0 * dp(2,5) + 0.0 * dp(1,5)+1

dp(2,5) = 0.8 * dp(3,5) + 0.2 * dp(1,5)+1

dp(3,5) = 0.6 * dp(4,5)+ 0.4 * dp(1,5)+1

dp(4,5) = 0.4 * dp(5,5) + 0.6 * dp(1,5)+1

其中dp(5,5)=0;

求解上述方程组，得到dp(1,5)即为答案，答案为17.0833.

代码：

1、蒙特卡洛模拟试验

#include <iostream>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <iomanip>

using namespace std;

bool isUpgrade(double p){
    double prob=rand()/(double)(RAND_MAX);
    if(prob<=p)
        return true;
    else
        return false;
}

double ExpectedUpgradeTimes(double *P,int n){
    const int TIMES=100000000;
    int grade=0;
    int times=0;
    int total=0;
    double expect=0;

    for(int i=0;i<TIMES;i++){
        grade=0;
        times=0;
        while(grade!=n-1){
            if(isUpgrade(P[grade]))
                grade++;
            else
                grade=0;
            times++;
        }
        total+=times;
    }
    expect=(double)total/TIMES;
    return expect;
}

int main(){
    srand((unsigned int)time(NULL));
    double P[]={1.0,0.8,0.6,0.4};
    int len=sizeof(P)/sizeof(P[0]);

    double exp=ExpectedUpgradeTimes(P,len+1);

    cout<<fixed<<exp<<endl;
    cout << setprecision(2) << exp << endl;
    return 0;
}

2、动态规划

#include <iostream>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <iomanip>

using namespace std;

double ExpectedUpgradeTimes_DP(double *P,int n){
    double A[n],B[n];
    double p[n];
    p[1] = 1.0;p[2] = 0.8;p[3]=0.6;p[4] =0.4;
    for(int i=4;i>=1;i--){
        A[i] = 1+A[i+1]*p[i];
        B[i] = p[i]*B[i+1]+1-p[i];
        cout<<A[i]<<" "<<B[i]<<endl;
    }
    double t = A[1]/(1-B[1]);

    return t;
}

int main(){
    srand((unsigned int)time(NULL));
    double P[]={1.0,0.8,0.6,0.4};
    int len=sizeof(P)/sizeof(P[0]);

    double exp=ExpectedUpgradeTimes_DP(P,len+1);

    cout<<fixed<<exp<<endl;
    cout << setprecision(2) << exp << endl;
    return 0;
}