写在前面：
素数是数论中的重要成员，了解素数的性质很重要
学习记录，方便复习
by sapphfyr
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质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数 ——bia度百科 |
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A prime number is a natural number greater than 1 that cannot be formed by multiplying two smaller natural numbers A natural number greater than 1 that is not prime is called a composite number. For example, 5 is prime because the only ways of writing it as a product, 1 × 5 or 5 × 1, involve 5 itself. However, 6 is composite because it is the product of two numbers (2 × 3) that are both smaller than 6 Primes are central in number theory because of the fundamental theorem of arithmetic: every natural number greater than 1 is either a prime itself or can be factorized as a product of primes that is unique up to their order ——Wikipedia |
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译： 质数是大于1的自然数，它不能由两个较小的自然数相乘而形成 大于1的非素数的自然数称为合数。例如，5是素数，因为将其作为积（1×5或5×1）写入的唯一方法涉及5本身。但是，6是合数，因为它可以是两个小于6的数字（2×3）的乘积 根据[◹]算术基本定理，素数在数论中处于中心地位：每一个大于1的自然数要么是素数本身，要么可以被分解为素数的一个乘积，其分解是唯一的 |
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素数定理
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In number theory, the prime number theorem (PNT) describes the asymptotic distribution of the prime numbers among the positive integers. It formalizes the intuitive idea that primes become less common as they become larger by precisely quantifying the rate at which this occurs ...In other words, the average gap between consecutive prime numbers among the first N integers is roughly log(N) ——Wikipedia |
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译： 在数论中，素数定理描述了素数在正整数中的渐近分布 素数定理通过精确地量化素数出现的速率，将范围越广，素数占比例越少的直观感觉以经验公式表达出来 ……换句话说，前n个整数中连续质数之间的平均间隔大致为ln(n) |
素数分布是数论中研究素数性质的重要课题，研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一
关于素数分布性质，通过数值观察、计算和初步研究发现，素数分布是以黎曼公式为中心，高斯公式为上限的正态分布，这在现在来说是经验公式，待给出严格证明之后才能成为数学定理
| 自然数（表中数字去掉个位9后，实际上是逐行翻倍） | 素数的个位为3 | |
| 累计素数个数 | 倍增比值 | |
| 19 | 2 | |
| 29 | 3 | 1.5 |
| 49 | 4 | 1.333333333 |
| 89 | 7 | 1.75 |
| 169 | 10 | 1.428571429 |
| 329 | 18 | 1.8 |
| 649 | 30 | 1.666666667 |
| 1289 | 54 | 1.8 |
| 2569 | 97 | 1.796296296 |
| 5129 | 175 | 1.804123711 |
| 10249 | 317 | 1.811428571 |
| 20489 | 583 | 1.839116719 |
| 40969 | 1086 | 1.862778731 |
| 81929 | 2002 | 1.843462247 |
| 163849 | 3755 | 1.875624376 |
| 327689 | 7071 | 1.883089214 |
| 655369 | 13338 | 1.886296139 |
| 1310729 | 25209 | 1.890013495 |
| 2621449 | 47851 | 1.898171288 |
| 5242889 | 91110 | 1.904035443 |
| 10485769 | 173756 | 1.907101306 |
| 20971529 | 332201 | 1.91188218 |
| 41943049 | 636108 | 1.914828673 |
| 83886089 | 1220765 | 1.919115936 |
| 167772169 | 2346530 | 1.922179945 |
| 335544329 | 4517428 | 1.925152459 |
| 671088649 | 8707822 | 1.927606151 |
| 1342177289 | 16810346 | 1.930488014 |
| 2684354569 | 32487852 | 1.932610548 |
| 5368709129 | 62859510 | 1.934861991 |
| 10737418249 | 121757490 | 1.936978032 |
| 结论：素数将与自然数一样无限增长 | ||
| 自然数增加1倍后，素数增长趋势是：逐渐也增加1倍 | ||
| 自然数趋向无穷大后，自然数增加1倍，孪生素数也应增加1倍 | ||
以 π(x)表示不大于x的素数个数，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168
利用素数筛法打素数表，可以看出
①x越大，π(x)与x的比值越接近于0
②x越大，π(x)与x/ln(x)的比值越接近于1
这就是素数定理
——bia度百科
- 素数的分类
素数可分成阴性素数（6N-1)，阳性素数（6N+1）和起码素数（1，2，3）
研究素数可以按照个位分为4类：个位分别是1、3、7、9（不包括素数2和素数5这两个特殊素数），比如个位为3的素数是：03、13、23、43、53、73、83、103.......
——bia度百科
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梅森素数
形如2p－1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp ，叫做梅森数
如果一个梅森数是素数，就称为梅森素数，而梅森数越大，梅森素数也就越难出现
这种特殊素数貌似简单，但探究难度却极大，目前仅发现51个梅森素数
已知的最大梅森素数282589933-1，该素数有24862048位
梅森素数是数论研究中的一项重要内容，在现代，梅森素数在计算机科学、密码学等领域有重要的应用价值
它还是人类好奇心、求知欲和荣誉感的最好见证
（话说关于梅森素数bia度百科写错了，现在还没改）
——bia度百科
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孪生素数猜想
两个差等于2的一对素数,称为孪生素数
例如3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，41和43，59和61，71和73，101和103，……10016957和10016959，都是孪生素数
迄今所知的最大孪生素数是1159142985×2-1和1159142985×2+1
所谓孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数，这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大
——bia度百科
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威尔逊定理
在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件，即：当且仅当p为素数时：(p-1)! ≡ -1 ( mod p )
但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大
——bia度百科
- 伯特兰——切比雪夫定理
若整数n>3，则至少存在一个质数p，符合n<p<2n-2
另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n<p<2n
1845年约瑟·伯特兰提出这个猜想，他检查了2至3×10^6之间的所有数
1850年切比雪夫证明了这个猜想