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高考复习笔记
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定义
三角函数是基本初等函数之一,是以角度(数学上最常用弧度制)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。
——bia度百科
历史
三角学的起源与发展早期的三角学是天文学的一部分,后来研究范围逐渐扩大,变成以 三角函数为主要对象的学科。
现在,三角学的研究范围已不仅限于三 角形,且为数理分析之基础,研究实用科学所必需之工具。
中国的发展我国古代没有出现角的函数概念,只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
——豆丁网
想要精确获知每颗星的经纬度,涉及到非常复杂的坐标转换运算,需要解三角比率,从现代数学来看,就是要解三角函数。
Hipparcos因此创立了三角学。他把每一个三角形(无论是平面三角形或者球面三角形)都当做圆内的一个内接三角形,这样三角形的每一个边都变成了一个弦,为了计算三角形的各个部分,我们必须把弦长作为圆心角的函数,而这就成了三角学在接下来几个世纪中的主要任务。
据说Hipparcos一共写了12本关于弦长计算的书,但是后来都失传了。而Ptolemy《至大论》中的正弦函数表和弦长的计算方法或许直接来自Hipparcos的著作。毕竟早在公元前二世纪时,Hipparcos就将自己所推知的正弦函数大量应用在实际计算中了。
——http://blog.sina.com.cn/s/blog_6c2b4fe60102dvy4.html
类型
八角图:
①平方关系
三个阴影三角形:上面两个角的平方和等于下面角的平方
sin²A+cos²A=1
tan²A+1=sec²A
cot²A+1=csc²A
②倒数关系
对角线上两个端点成倒数
sinA*cscA=1
cosA*secA=1
tanA*cotA=1
③商数关系
六边形的相邻三个顶点:中间的数等于两侧的乘积
sinA=cosA*tanA
tanA=sina*cscA
secA=tanA*cscA
cscA=secA*cotA
cotA=cscA*cosA
cosA=cotA*sinA
定理
正弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形,有:(R是三角形的外接圆半径)
余弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形,有:

正切定理

射影定理(欧几里德定理)

公式
和差角
积化和差
和差化积
二倍角(/半角/升幂降角)
降幂升角