树链剖分 入门

什么是树链剖分?

树链剖分说白了就是将树的节点按照某种顺序编号，使其在特殊的链上编号连续（类似区间），方便用数据结构维护。

如何树链剖分?

树链剖分一般分为重链剖分和长链剖分，这里只介绍重链剖分（我也只会重链剖分）。

重链剖分中有几个概念：

1. 重儿子：一个节点的所有子节点中，以某个子节点为根的子树中节点数量最多的称为重儿子（如果最多的数量相同随便取一个）。
2. 轻儿子：一个节点的所有子节点中，不是重儿子的节点就是轻儿子（这不是废话吗）。
3. 重边：父节点与重儿子所连成的边。
4. 轻边：父节点与轻儿子所连成的边。
5. 重链：重边所连成的链。
6. 轻链：轻边所连城的链。

如图所示，蓝色的边为重边，绿色的节点为重儿子。

树链剖分的第一步就是一遍dfs找出所有节点的重儿子，并处理出深度与父子关系（以后有用）。

代码如下：

void dfs(int x){
    size[x]=1,d[x]=d[fa[x]];//size表示节点数量，d表示深度
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=ver[i];
        if(y==fa[x]) continue;//fa表父节点
　　　　　fa[y]=x;
        dfs(y);
        size[x]+=size[y];
        if(size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;//son表示重儿子
    }
}

树链剖分的第二步便是按照重儿子先遍历，轻儿子后遍历的次序再dfs一遍，给节点按照dfs序编号，还是如上面那张图所示，红色数字的代表重新编号后的编号。并处理出每一条重链的首端，轻儿子的首端为它自己。

代码如下：

void dfs(int x,top1){//top1代表重链首端
    top[x]=top1;//首端
    id[x]=++cnt;//重新编号
    if(!son[x]) return;
    dfs(son[x],top1);//重儿子所在重链的首端和该节点一样
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=ver[i];
        if(y==fa[x] || y==son[x]) continue;
        dfs(y,y);//轻儿子所在首端为它自己
    }
}

处理完这两个dfs之后，我们可以发现，重链上的编号都是连续的！，这意味着我们可以像维护区间一样用数据结构（线段树、树状数组）维护每一条重链。我们还可以发现每个节点的儿子的子树编号也是连续的，用线段树描述的话区间[id[x],id[x]+size[x]-1]覆盖了以节点x为根的子树中所有节点。

当我们想要在树链上维护树上两个节点x，y之间的路径的数据时（列如节点权值和）或者求lca时，如果x与y所在重链的首端不同的话，一般都是将节点x与节点y同时向其所在重链的首端的父节点往上跳，因为重链上节点编号是连续的，所以我们可以在跳的过程中对每一条重链用数据结构进行维护。当重链首端相同的时候也就意味着它们在同一条重链，这时候维护节点x~y（或y~x，看节点深度）之间的信息就好了。

下面以“将节点x到节点y的最短路径上的所有节点的权值都加上a”为例给出代码。

int add(int x,int y,int a){
    while(top[x]!=top[y]){//重链所在首端不同的时候
        if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);//比较深度
        addtree(1,id[top[x]],id[x],a);//线段树维护链，维护重链首端top[x]到节点x之间的节点权值
        x=fa[top[x]];//往上跳至首端的父节点
    }
　　//此时首端相同
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);//看深度
    addtree(1,id[x],id[y],a);//维护此时x到y这条重链上的节点权值
}

两道例题：

　　　　[SDOI2011]染色   题解
　　　　[NO12015]软件包管理器   题解

对树链剖分的时间复杂度分析

树链剖分的两个性质：

1. 若（x，y）是一条轻边，那么 $size[y]<frac{1}{2} size[x]$
2. 从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小于logn

第一个性质不难理解，可以用反证法。第二个性质因为如果某一个节点x所在的是重链，那么它可以直接跳到重链链头，所以我们考虑最坏情况，也就是从它到根节点的路上，它都走的是轻边，再考虑对树上每一个节点都只有两个size数量相同的子节点（因为如果不相同那更快），此时就和一棵二叉树差不多，走到根节点所经过节点数差不多是 $log_2n$(我是这么理解的，出了错我可是不负泽任的233)。