Final Zadanie 题解

题意

给出一棵树，求一组 (a_i)， 满足：

[Large operatorname{dist(1,1)} imes a_1+operatorname{dist(1,2)} imes a_2+dotsoperatorname{dist(1,n)} imes a_n=b_1\Large operatorname{dist(2,1)} imes a_1+operatorname{dist(2,2)} imes a_2+dotsoperatorname{dist(2,n)} imes a_n=b_2\Large vdots\Large operatorname{dist(n,1)} imes a_1+operatorname{dist(n,2)} imes a_2+dotsoperatorname{dist(n,n)} imes a_n=b_n ]

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题解

考虑算贡献 ？

设 (f_i) 表示第 (i) 个结点子树的 (a) 和。

(g_i) 表示第 (i) (dots) (f) 和

则 (Large f_1-2 imes f_i=b_i-b_{fa_i})

上面这个式子直接用图形理解应该会方便一点。

此外，

(Large b_1=g_1-f_1=sumlimits_{i=1}^n f_i-f_1=sumlimits_{i=2}^n f_i)

所以

(Large 2 imes b_1=2 imes sumlimits_{i=2}^nf_idots①)

因此

[Large sum_{i=1}^n f_1-2 imes f_i = sum_{i=1}^n b_i-b_{fa_i} ]

[Large n imes f_1-sum_{i=1}^n 2 imes f_i=sum b_i-sum b_{fa_i} ]

则：

[Large sum_{i=2}^n(b_i-b_{fa_i})=(n-1) imes f_1-sum_{i=2}^n2 imes f_i dots ② ]

所以：

[Large ①+②:sum_{i=2}^n(b_i-b_{fa_i})+2 imes b_1=(n-1) imes f_1 ]

得到了：

[Large f_1=dfrac{2 imes b_1+sumlimits_{i=2}^n(b_i-b_{fa_i})}{n-1} ]

那么结合

[Large f_1-2 imes f_i=b_i-b_{fa_i} ]

，就可以求到每一个 (f_i) 了，然后再搜一遍得到 (a_i) 即可。

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代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
vector <int> G[300005];
ll a[300005],f[300005],b[300005];
ll sum=0;
void dfs(int u,int fa,int op)
{
	if(op==1&&fa) sum+=b[u]-b[fa];
	else if(op==2&&fa) f[u]=(f[1]-b[u]+b[fa])/2,a[u]=f[u];
	else if(op==2&&!fa) a[u]=f[1];
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)
	{
		int v=G[u][i];
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u,op);
		if(op==2) a[u]-=f[v];
	}
}
int main() {
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++)
	{
		scanf("%d %d",&u,&v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i]);
	sum+=2ll*b[1];
	dfs(1,0,1);
	f[1]=sum/(n-1);
	dfs(1,0,2);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",a[i]);
	return 0;
}