Description
给出一个长度为n的序列a和一个整数p
有m组询问，每组询问给出一个区间([l,r])
你需要给出下面这个过程的结果
ans = 0
for i from l to r
{
ans = ans + a[i]
if ans > p then ans = ans - p;
}
return ans
(nleq 10^6)
(m<=2 imes10^5)
(pleq10^9)
(-10^9leq a_ileq10^9)
Solution
显然一个区间内至多只会减区间长度次p
也就是说如果我们设一个函数(f(x))为初始为x，经过区间([l,r])后的答案，那么(f(x))显然由(r-l+2)段斜率为1的一次函数构成，且相邻两段之间截距差为p
更进一步的，可以发现每一段的长度是(O(p))的
那么我们可以考虑用线段树维护函数，对于每个线段树区间记下每段的端点，查询很简单，直接从0开始加上这一段的贡献，并在下一个区间中二分属于那一段即可。
关键是建树
考虑左子区间和右子区间已经建好，考虑将它们合并，实际上就是一个函数复合的过程。
具体实现来说，枚举左子区间的所有段，计算出相应的值域区间，然后右边用一个指针找合法的右段。
由于每一段的长度均为(O(p))，因此每次指针动的位置数是常数级的。
总的时间复杂度为(O(nlog n+mlog^2 n))
可以参考程序。
Code
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#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
typedef long long LL;
const int N=2000005;
const LL INF=(LL)1e16;
using namespace std;
vector<LL> f[N];
int t[N][2],d[200],a[N],n,n1,mo,q;
LL sm[N];
template <class I>
void read(I &x)
{
x=0;char ch=getchar();I v=1;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') v=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
x=x*v;
}
void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r) {f[k].push_back(-INF),f[k].push_back(mo-a[l]);sm[k]=a[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
t[k][0]=++n1,build(t[k][0],l,mid);
t[k][1]=++n1,build(t[k][1],mid+1,r);
int x=t[k][0],y=t[k][1],rx=f[x].size(),ry=f[y].size();
f[k].resize(rx+ry-1,INF);
for(int i=0,j=0;i<rx;++i)
{
LL xl=f[x][i],xr=(i+1!=rx)?f[x][i+1]-1:INF,yl=xl+sm[x]-(LL)i*mo,yr=xr+sm[x]-(LL)i*mo;
while(j>0&&f[y][j]>yl) j--;
while(j<ry&&f[y][j]<=yl) j++;
if(j) j--;
while(j<ry&&f[y][j]<=yr) f[k][i+j]=min(f[k][i+j],max(xl,f[y][j]-sm[x]+(LL)i*mo)),j++;
}
f[k][0]=-INF;
sm[k]=sm[t[k][0]]+sm[t[k][1]];
}
void find(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if(x<=l&&r<=y) {d[++d[0]]=k;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) find(t[k][0],l,mid,x,y);
if(y>mid) find(t[k][1],mid+1,r,x,y);
}
LL query(int x,int y)
{
d[0]=0;find(1,1,n,x,y);
LL c=0;
fo(i,1,d[0])
c+=sm[d[i]]-(LL)mo*(upper_bound(f[d[i]].begin(),f[d[i]].end(),c)-f[d[i]].begin()-1);
return c;
}
int main()
{
cin>>n>>q>>mo;
fo(i,1,n) read(a[i]);
n1=1;
build(1,1,n);
fo(i,1,q)
{
int x,y;
read(x),read(y);
printf("%lld
",query(x,y));
}
}