bzoj 1041 数学推理

原题传送门http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041

我们只需要求第一象限内（不包括坐标轴）的点数然后ans=ans*4+4就好了

首先我们知道圆上点的方程关系

x*x+y*y=r*r

那么我们变下型

Y*Y=R*R-X*X             

Y*Y=(R-X)*(R+X)        ①

我们令d=gcd(r-x,r+x)

设A=（r-x)/d;

    B=(r+x)/d;

因为我们要求x为整数，那么需要A,B为整数

将A,B带回①可得

A*B*d*d=y*y

因为我们要求y为整数，那么需要A*B*d*d为完全平方数

因为点在第一象限内，所以A<>B,所以A,B应为完全平方数

那么当A,B为完全平方数时，x,y为整数

那么我们可以设A=a*a; B=b*b;

则有a*a=(r-x)/d;  b*b=(r+x)/d;

那么两式相加，得到a*a+b*b=2*r/d；

那么只要a,b为整数，就可以得到一组整点

那么我们可以知道d|2*r

所以我们可以枚举2*r的因数，对于每个因数（每个因数对应一对儿因数，分别是d和2*r/d）

假设因数是d的时候，因为a<b所以2*a*a<2*r/d， 所以a*a<r/d 那么我们可以枚举a<sqrt(r/d)，

对于每个a我们可以算出b,相对应的A,B应满足gcd(A,B)=1且A<>B如果满足，就累加答案

/**************************************************************
    Problem: 1041
    User: BLADEVIL
    Language: Pascal
    Result: Accepted
    Time:136 ms
    Memory:224 kb
****************************************************************/
 
//By BLADEVIL
var
    r                           :int64;
    ans                         :int64;
     
function gcd(a,b:int64):int64;
begin
    if b>a then exit(gcd(b,a)) else
    if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd(b,a mod b);
end;
     
function check(y:int64;x:extended):boolean;
var
    x1                          :int64;
begin
    if x=trunc(x) then
    begin
        x1:=trunc(x);
        if (gcd(x1*x1,y*y)=1) and (x1*x1<>y*y) then
        begin
            exit(true);
        end;
    end;
    exit(false);
end;
     
procedure main;
var
    d, a                        :longint;
    b                           :extended;
begin
    read(r);
    for d:=1 to trunc(sqrt(2*r)) do
    begin
        if (2*r) mod d=0 then
        begin
            for a:=1 to trunc(sqrt(r/d)) do
            begin
                b:=sqrt(((2*r)/d)-a*a);
                if check(a,b) then ans:=ans+1;
            end;
            if d<>((2*r) div d) then
            for a:=1 to trunc(sqrt(d/2)) do
            begin
                b:=sqrt(d-a*a);
                if check(a,b) then ans:=ans+1;
            end;
        end;
    end;   
    writeln(ans*4+4);
end;
 
begin
    main;
 
end.