中国剩余定理模板+理解 推导

此处省略引经据典。

(为了方便叙述，x=(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)表示  x≡a1(mod b1)  x≡a2(mod b2) x≡a3(mod b3) )

举个栗子。

栗子 求x=(2,3,2)(3,5,7)的最小正整数解。

考虑转化为三个子问题。

（显然，对于互质的u,v,可以得到x=(0,0)(u,v)=u*v。因此，(1,0,0)(3,5,7)=(1,0)(3,5*7)=35*（35^-1(mod 3)）%3）

思考后可得 x=(2*(1,0,0)(3,5,7)+3*(0,1,0)(3,5,7)+2*(0,0,1)(3,5,7))(mod 3*5*7)

推而广之，考虑n个两两互质的数 m₁,m₂,m₃,……m_n-1,m_n,设他们的积为M。

则，x=(a₁,a₂,a₃,……a_n)（m₁,m₂,m₃,……m_n）=(a₁*(1,0,……，0)+a₂*(0,1,0,……,0)+……a_n*(0……0,1))=

(a₁*(M/m₁)*（(M/m₁)^-1(mod m₁)%m₁）+……a_n*(M/m_n)*（(M/m_n)^-1(mod m_n)%m_n）)

而关于逆元，可以用扩展欧几里得来求（扩展欧几里得求逆元可以参考小蒟蒻的这篇博客，貌似快速幂求逆元也适用？）。

细节见代码。

#include <cstdio>
using namespace std;
int x,y,M=1;
void exgcd(int aa,int bb,int &x,int &y){
    if(bb==0){
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(bb,aa%bb,y,x);
    y-=x*(aa/bb); 
} 
const int sz=1e5+5;
int a[sz],m[sz],ans,n;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&m[i]),M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        exgcd(M/m[i],m[i],x,y);
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        ans+=a[i]*x*(M/m[i]);
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    printf("%d",ans); 
    return 0;
}

引用一个POJ的模板题 POJ1006

该题代码如下

#include <cstdio>
using namespace std;
int x,y;
const int M=21252;
void exgcd(int aa,int bb,int &x,int &y){
    if(bb==0){
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(bb,aa%bb,y,x);
    y-=x*(aa/bb); 
} 
int t,a[3],m[3]={23,28,33},d,ans;
int main(){
    for(t=1;;++t){
        ans=0;
        for(int i=0;i<3;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            exgcd(M/m[i],m[i],x,y);
            x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
            ans+=a[i]*x*(M/m[i]);
            ans=(ans%M+M)%M;
        }
        scanf("%d",&d);
        if(d==-1)break;
        ans-=d;
        ans=(ans%M+M)%M;
        if(ans==0)ans=M;
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.
",t,ans); 
    }
    return 0;
}