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  • [算进] 可见的点

    没有代码的数学题题解(超级简单,超级易懂)

    Sulotion

    我们可以发现一个点之所以不能被看见是因为点 ((x,y))(gcd(x,y) > 1),比如下面这张图:

    所以能看见的点 ((x,y)) 一定有 (gcd(x,y)=1)

    所以这个题目就是在求:

    [sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=1] ]

    当然结果还要 (+2),因为有 ((1,0),(0,1)) 这两个点。我们先考虑上式怎么求。

    (Mobius反演大佬一看,“这不是sb题吗?”,我这个Mobius反演蒟蒻在一旁只能瑟瑟发抖)

    不会莫反的同学不要紧,我们可以直接 欧拉函数 解决这个问题!!!

    如果 (gcd(i,j)=1),那么我们可以直接知道 (gcd(j,i)=1),这个式子是对称的,那么我们可以令 (i>j),只算一边,最后 (*2)

    但是这样会忽略 ((1,1)) 这个点,我们得加上去。因此原式等于:

    [(2*sum_{i=1}^n sum_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)=1])+1 ]

    我们再来考虑 (sum_{i=1}^n sum_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)=1]) 这部分这么算。经过观察发现 (sum_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)=1]) 这部分就是 (φ(i)),因此等于:

    [sum_{i=1}^n φ(i) ]

    就是一个欧拉函数前缀和,用欧拉筛可以 (O(n)) 解决,然而大佬们会杜教筛可以在非线性时间内解决。

    把整个式子写完整,答案就是:

    [(2*sum_{i=1}^n φ(i))+1+2 ]

    代码就不写了,没啥技术含量。。。

    Summary

    大佬们可以用莫反千千万万种方式切爆这题。

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