【BZOJ1095】【ZJOI2007】捉迷藏 [动态点分治]

捉迷藏

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Description

　　捉迷藏 Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。
　　他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
　　游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。
　　在起初的时候，所有的灯都没有被打开。
　　每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。
　　为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。
　　我们将以如下形式定义每一种操作：
　　C(hange) i 改变第i房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
　　G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。
　　接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
　　接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。
　　接着Q行，每行一个操作，如上文所示。

Output

　　对于每一个操作Game，输出一个非负整数，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。

Sample Input

　　8
　　1 2
　　2 3
　　3 4
　　3 5
　　3 6
　　6 7
　　6 8
　　7
　　G
　　C 1
　　G
　　C 2
　　G
　　C 1
　　G

Sample Output

　　4
　　3
　　3
　　4

HINT

　　对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。

Main idea

　　给定一棵树，有0点或者1点，每次查询最远的两个1点之间的距离，需要支持修改0和1。

Solution

　　我们先观察一下数据，由于n<=10^5，所以O(n^2)的做法不可行。我们先考虑如何静态查询，首先我们第一反应想到了树形DP，然后发现这种方法无法优化。考虑一下有什么方法是log级别的呢？我们想到了点分，静态点分的做法就是每次取出重心，然后查询最深的1点的深度即可，要如何优化呢？发现如果点分可以动态实现的话就可以AC了。那么现在确定了算法：动态点分治。
　　我们先从点分的角度来剖析一下，点分其实就相当于每次找到重心，处理和重心有关的路径，然后把重心割掉，将树分为多个小块，这样将所有路径上的信息存到了重心上，降低规模处理问题，有效降低复杂度。那么动态点分治就相当于用线段树处理序列问题一样，在分治的框架上加上了对于每个点的信息维护，对于每个点用堆来维护信息，这样来实现信息的维护与查询。
　　我们分几步来实现：
　　1. 建立“重心树”：我们发现我们在点分中重心存着路径的信息，所以我们只要维护跟重心有关的信息就可以了，考虑到分治过程的性质，所以修改了一个点，只会影响到这个点作为一个重心时以上的重心（以下称为“父重心”），所以我们先根据找重心的过程建立一棵“重心树”，一个点（作为重心时）隔开后得到的若干棵子树中的每一个重心的父重心就是这个点（这个点称为“子重心”），所以可以证明这棵树的深度是log级别的。每次只需要修改这个点在重心树中到根的路径上的点。
　　2. 构建可删堆：由于我们要维护的是最长链，思考静态的时候要维护的就是最大值，那么动态时我们就需要一个数据结构来维护这些最大值，支持更改与删除等操作，我们想到了“堆”，由于这个堆是需要支持删除操作的，这里讨论一下怎么删除：对于每个heap堆再开一个del堆，删除一个点的时候将要删除的值加入到del堆里面，然后调取top的时候如果heap堆和del堆的堆顶是一样的同时pop掉，直到不一样的时候的top就是真正的top了，其余操作类似。
　　3. 维护信息：对于每个点开两个堆维护信息，第一个c堆维护“这个重心的子树（包括这个重心）到父重心的距离”（求距离用LCA即可），第二个b堆维护“这个重心隔开后的几个子树中的最大深度（也就是子重心c堆的堆顶）”，然后全局开一个A堆维护“每一个b堆的最大值和次大值”，那么显然答案就是堆A的top。
　　4. 修改操作：这里讨论一下将1点变为0点的操作（0变为1类似），每次修改一个点显然需要直接影响到c堆，将在重心树中到根位置的中的点的c堆中删除掉这个点的值，就会影响到b堆，然后最终影响到A堆。每次修改先删除掉堆A的top，然后在父重心的b堆中删除掉这个点的c堆的top，删除掉这个c堆的top，然后再在父重心的b堆中加入这个点的c堆的top即可，修改的时候再维护一下A堆即可，处理一下细节。

Code

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;  
       
const int ONE=100005;
   
int n,T;
int x,y;
int next[ONE*2],first[ONE*2],go[ONE*2],tot;
int Dep[ONE],Turnoff[ONE],Light;
int fat[ONE];
int f[ONE][21];
char ch[10];
   
int get()
{ 
        int res,Q=1;    char c;
        while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
        if(Q) res=c-48; 
        while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
        res=res*10+c-48; 
        return res*Q; 
}
   
int Add(int u,int v)
{
        next[++tot]=first[u];   first[u]=tot;   go[tot]=v;
        next[++tot]=first[v];   first[v]=tot;   go[tot]=u;
}
   
   
struct Heap_deal
{
        priority_queue <int> heap,delet;
           
        void add(int x) {heap.push(x);}
        void del(int x) {delet.push(x);}
        void Pop()
        {
            while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
            {
                heap.pop();
                delet.pop();
            }
            heap.pop();
        }
           
        int Top()
        {
            while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
            {
                heap.pop();
                delet.pop();
            }
            return heap.top();
        }
           
        int SecondTop()
        {
            int jilu1=Top(); Pop();
            int jilu2=Top(); add(jilu1);
            return jilu2;
        }
           
        int Size()
        {
            return heap.size()-delet.size();
        }
}A,b[ONE],c[ONE];
   
void ADD(Heap_deal &a)
{
        if(a.Size()>=2)
        {
            int r1=a.Top();
            int r2=a.SecondTop();
            A.add( r1+r2 );
        }
}
   
void DEL(Heap_deal &a)
{
        if(a.Size()>=2)
        {
            int r1=a.Top();
            int r2=a.SecondTop();
            A.del( r1+r2 );
        }
}
  
namespace PartLCA
{
        void Deal_first(int u,int father)
        {
            Dep[u]=Dep[father]+1;
            for(int i=0;i<=19;i++)
            {
                f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
            }
                    
            for(int e=first[u];e;e=next[e])
            {
                int v=go[e];
                if(v==father) continue;
                f[v][0]=u;
                Deal_first(v,u);
            }
        }
           
        int LCA(int x,int y)
        {
            if(Dep[x]<Dep[y]) swap(x,y);
            for(int i=20;i>=0;i--)
            {
                if(Dep[f[x][i]]>=Dep[y]) x=f[x][i];
                if(x==y) return x;
            }
              
            for(int i=20;i>=0;i--)
            {
                if(f[x][i]!=f[y][i])
                {
                    x=f[x][i];
                    y=f[y][i];
                }
            }
            return f[x][0];
        }
           
        int dist(int x,int y)
        {
            return Dep[x]+Dep[y]-2*Dep[LCA(x,y)];
        }
}
  
  
namespace PointF
{
        int Min,center,vis_center[ONE];
           
        struct power
        {
            int size,maxx;
        }S[ONE];
           
           
        void Getsize(int u,int father)
        {
            S[u].size=1;
            S[u].maxx=0;
            for(int e=first[u];e;e=next[e])
            {
                int v=go[e];
                if(v==father || vis_center[v]) continue;
                Getsize(v,u);
                S[u].size+=S[v].size;
                S[u].maxx=max(S[u].maxx,S[v].size);
            }
        }
             
        void Getcenter(int u,int father,int total)
        {
            S[u].maxx=max(S[u].maxx,total-S[u].size);
            if(S[u].maxx<Min)
            {
                Min=S[u].maxx;
                center=u;
            }
               
            for(int e=first[u];e;e=next[e])
            {
                int v=go[e];
                if(v==father || vis_center[v]) continue;
                Getcenter(v,u,total);
            }
        }
           
        void Add_c(int u,int father,int center)
        {
            c[center].add(PartLCA::dist(u,fat[center]));
            for(int e=first[u];e;e=next[e])
            {
                int v=go[e];
                if(v==father || vis_center[v]) continue;
                Add_c(v,u,center);
            }
        }
           
           
        void New_tree(int u,int Last)
        {
            Min=n;
            Getsize(u,0);
            Getcenter(u,0,S[u].size);
            vis_center[center]=1;
               
            fat[center]=Last;
            if(Last!=0) Add_c(center,0,center);
            if(c[center].Size()) b[Last].add(c[center].Top());
               
            int root=center;
            for(int e=first[center];e;e=next[e])
            {
                int v=go[e];
                if(vis_center[v]) continue;
                New_tree(v,root);
            }
        }
}
  
namespace Control
{
        void Turn_off(int x)
        {
            for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
            {
                DEL(b[fat[i]]);
                if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
                  
                c[i].del(PartLCA::dist(fat[i],x));
                       
                if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
                ADD(b[fat[i]]);
            }
        }
           
        void Turn_on(int x)
        {
            for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
            {
                DEL(b[fat[i]]);
                if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
                  
                c[i].add(PartLCA::dist(fat[i],x));
                     
                if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
                ADD(b[fat[i]]);
            }
        }
}
  
   
int main()
{
        n=get();
        Light=n;
        for(int i=1;i<=n;i++) Turnoff[i]=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            x=get();    y=get();
            Add(x,y);
        }
           
        PartLCA::Deal_first(1,0);
        PointF::New_tree(1,0);
           
        for(int i=1;i<=n;i++) ADD(b[i]);
           
        T=get();
        while(T--)
        {
            scanf("%s",ch);
            if(ch[0]=='G')
            {
                if(Light==0) printf("-1");
                else if(Light==1) printf("0");
                else printf("%d",A.Top());
                printf("
");
            }
               
            if(ch[0]=='C')
            {
                x=get();
                if(Turnoff[x])
                {
                    Turnoff[x]=0;
                    Light--;
                    Control::Turn_off(x);
                }
                else
                {
                    Turnoff[x]=1;
                    Light++;
                    Control::Turn_on(x);
                }
            }
        }
}