120. 三角形最小路径和

题目描述

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形（用二维向量triangle表示）：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

算法

利用动态规划求解自上向下的三角形路径和，难点在于要求额外的空间复杂度位O(n)。那么不妨利用传入的二维向量作为一个媒介更新dp数组。

如果没有复杂度要求的话，可以开一个二维数组dp[n][n]，n是三角形的行数。从上至下的更新情况下所示：

[
      [2],
     [5,6],
   [11,10,13],
  [15,11,18,13]
]

最终返回的是dp的最后一行中最小的那个数。

现在要求空间复杂度为O(n)，即最多只能开一个一维数组dp[n]，n是三角形的行数。可以将dp中的数加到triangle中对应的行，最后再将triangle中对应的该行重新保存回dp。一位triangle一行最多保存n个数，所以dp[n]已经够用。详细注释在代码中给出。

代码

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int size = triangle.size();
        // 边界条件，若triangle仅有一行，直接返回第一行的该数即可
        if(size == 1)
            return triangle[0][0];
        
        // 开dp数组
        int dp[size];
        dp[0] = triangle[0][0];
        
        // 自三角形的第二行从上到下遍历，体现在下标为i=1。因为二维向量由i=0开始，i=0代表第一行，这里不要搞混了。
        for (int i = 1; i < size; i++)
        {
            // 从前往后遍历triangle[i]这个向量，并用已经保存的dp数组更新triangle[i]
            for (int j = 0; j <= i; j++)
            {
                if(j == 0)
                    triangle[i][j] += dp[j];
                else if(j == i)
                    triangle[i][j] += dp[j-1];
                else
                    triangle[i][j] += min(dp[j], dp[j-1]);
            }
            
            // 重新保存回dp数组，以用来更新三角形的下一行
            for (int j = 0; j < triangle[i].size(); j++)
                dp[j] = triangle[i][j];
        }
        // 取dp中最小的那个数返回
        int _min = 99999999;
        for (int j = 0; j < size; j++)
            if(_min > dp[j])
                _min = dp[j];
        return _min;
    }
};