gcd的推论，多个数的gcd的转化

gcd的推论，多个数的gcd的转化

(gcd(a,b,c,d)=gcd(a,a-b,b-c,c-d))

证明如下：

1. 先证(gcd(a,b,c,d)<=gcd(a,a-b,b-c,c-d))

   设(k=gcd(a,b,c,d))

   若(k|a,k|b),则有(k|a-b)

   同理可得(k|b-c),(k|c-d)

   所以k是a,a-b,b-c,c-d这四个数的公共因子，但不一定是最大的

2. 再证(gcd(a,b,c,d)>=gcd(a,a-b,b-c,c-d))

   设(k=gcd(a,a-b,b-c,c-d))

   若(k|a,k|a-b),则有(k|a-(a-b))

   所以有k|b

   同理可得(k|c),(k|d)

   所以k是a,b,c,d这四个数的公共因子，但不一定是最大的

3. 因为这两者关系同时存在，故而只有一种可能

   (gcd(a,b,c,d)=gcd(a,a-b,b-c,c-d))

   得证

其他

• 该推论的应用，该推论将原本的数字转成了差分形式，因而可以结合差分的性质一起使用。
• 由于gcd函数的设置可以让某个数和0gcd，从而返回自身
• long long gcd(long long a,long long b) { return b?gcd(b,a%b):a; }