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作者：marsCatXDU_李经纬
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来源：稀土掘金
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子群的判定定理
群的概念：
群是一个具有可交换运算，单位元，且对于任意元素都有其对应的逆元的代数系统。
判定定理一
已知群 <G, *>，已知 S 是 G 的非空子集，运算 ∗ 在 S 上封闭，S 的每个元素都有逆元。则 <S, *>是 <G, *> 的子群。
必要性证明分析
如果S是G的子群的话，S作为子群本身就具有这些性质。
充分性证明分析：
目前已经满足了封闭性，逆元，还有群赋予*运算的可交换性，只需再去证明说S具有单位元就可以说明S是G的子群。
由于封闭性的性质，可以取出任意两个元素，这两个元素通过运算的结果也会产生在S中，然后可以以这个作为基础，去找一对比较特殊的元素。
又因为元素和其对应的逆元是同时存在的，所以可以用这两者算出单位e。
证明
判定定理二
设 <G,∗> 是一个群，S⊆G,S≠∅， 对 ∀a,b∈S，若有 (a*b^{-1}in S)，则 S 是 G的子群。
充分性证明分析：
首先，运算的可结合性是可以继承得来的，因而我们还需证明S具有单位元，逆元和封闭性三个性质。
其次，对于a和b，我们可以同时取a，就可以通过(a*b^{-1}in S)这个性质得到，单位元e也是在S中。
这时我们在将a取e，可得b的逆元也是在S中的，而注意一下，对于b,我们是任意取的，因而我们就可以得出在代数系统S中，对于任意一个元素，都有其对应的逆元。
最后，我们让b=b的逆元，代入到 (a*b^{-1}in S)，可得(a*bin S)。
判定定理三
若 <G, *>是群，(Ssubseteq G)， (S eq empty)且 S是有限集，则只要 ∗ 在 S 上封闭，则可确定 <S,∗> 是 <G,∗> 的子群
必要性证明分析
封闭是群的自带性质
充分性证明分析
因为是有限集，所以不妨设S中元素的个数有m个。
由于封闭性的性质
(forall a,b in S,a*b in S)
我们不妨可以同取a，b为a，因而我们就可以恶意构造出m+1个项，分别为a的一次方，二次方直到m+1次方，这些都是属于S的。
而又因为S最多有m个不同的元素。
这就意味着m+1个元素中有重复的元素
我们不妨记(a^{i}=a^{j},且j>i),因而我们就有(a^{j-i}=e),且(a^{-1}=e*a^{-1}=a^{j-i-1})。
于是单位元和逆元都有了。
得证。