【组合数学】【恒等式】$sum_{k=0}^{r}C_m^k imes C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r$

【组合恒等式】(sum_{k=0}^{r}C_m^k imes C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r)

问题模型：

P舞团将从M舞团和N舞团共选拔出r个人来加入到P舞团，求问一共有多少种选法？

思路一：

在M中选x人，那么就在N中选r-x人最终只需对所有情况取个西格玛,即(sum_{k=0}^{r}C_m^{k} imes C_n^{r-k})，也可以写作(sum_{k=0}^r binom{m}{k} imes binom{n}{r-k})

思路二：

直接在M、N组成的整体中直接去选取r个人，即(C_{m+n}^{r})，也可以写作( binom{m+n}{r})

由于这两种思路都是正确的，故而由这两个式子算出来的结果是相等的。

此外，需要注意的是在运用这个公式需要注意一下是否满足(r<=min(m,n))这个前提条件。

推论

(sum_{k=0}^{r}C_m^{k} imes C_n^{r-k}=C_{m+n}^{r})

若将该公式中r替换为n，我们将有

(sum_{k=0}^{n}C_m^{k} imes C_n^{n-k}=C_{m+n}^{n})

经过化简，我们有

(sum_{k=0}^{n}C_m^{k} imes C_n^{k}=C_{m+n}^{m})

也可以写作(sum_{k=0}^{n} binom{m}{k} imes binom{n}{k} = binom{m+n}{m})