四边形不等式与决策单调

四边形不等式与决策单调

目录

• 四边形不等式与决策单调
  • 四边形不等式
    • 定义
    • 判定定理
  • 一维线性DP的优化
    • 转移模型
    • 证明：
    • 实现
  • 二维区间递推优化
    • 转移模型
    • 定理：
    • 实现

四边形不等式

定义

存在二元函数(w(x,y)) ，其定义域为(I)，

若对于任意(a,b,c,din I且a≤b≤c≤d)，(w(a,d)+w(b,c)≥w(a,c)+w(b,d))恒成立

则称(w)满足四边形不等式。

判定定理

若对于任意(a,bin I且a＜b)，(w(a,b+1)+w(a+1,b)≥w(a,b)+w(a+1,b+1))恒成立

则w满足四边形不等式。

可以感性理解一下吧：(a<biff a<a+1≤b<b+1)，只有等号问题并不影响。

一维线性DP的优化

转移模型

[f[i]=min_{0≤j<i}{f[j]+w(j,i)},w满足四边形不等式 ]

证明：

设k,k′为(f[i])的决策点并满足条件(0≤k′<k<i<i′)′

不难得知

(f[i]=f[k]+w(k,i)≤f[k′]+w(k′,i))

由四边形不等式得知

(w(k′,i′)+w(k,i)≥w(k′,i)+w(k,i′))

两式相加有

(f[k]+w(k,i′)≤f[k′]+w(k′,i′))

于是易知决策点k比k′更优，故得证。

实现

当前转移(f[i]),单调队列维护三元组((l,r,p))，表示l~r的最优决策点目前为p。

1. 掐头，若(r=i-1),弹出，否则(l=i)

2. 取队首计算

3. 去尾,

   如果决策i在l处都比p优秀，则直接弹出p。

   如果决策i在r处都不如p优秀，则直接插入p。

   否则二分查找l~r中第一个可以让决策点i更优秀的位置

   更改队尾r，把新的三元组代表i的决策加入队列（注意有可能不能加入）

   ​

可以实现(O(n^2) o O(nlog_n)) 。

二维区间递推优化

转移模型

[f[l][r]=min_{l≤k<r}{f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]}\ f[i][j]=min_{0≤k<i}{f[i-1][k]+w(k+1,j)}\ …… ]

定理：

没有证明。。

一：若对于上式中的w有

​ ①w满足四边形不等式

​ ②对于任意的(a,b,c,din I且a≤b≤c≤d) ，w满足(w(a,d)≥w(b,c))

​ 则f满足四边形不等式。

二：若f满足四边形不等式，则：

​ 对于任意决策(i<j)，都有下列二者之一：

[p[i,j-1]≤p[i,j]≤p[i+1,j] (转移中i倒序枚举，j正序枚举)\ p[i-1,j]≤p[i,j]≤p[i,j+1j] (转移中i正序枚举，j倒序枚举)\ p为各个状态的最优决策 ]

实现

一般而言，都是直接把第三重循环的边界依情况改成上面的二式之一即可。

可以实现(O(n^3) o O(n^2)) 。

对于此类优化，一般先大胆猜想，然后打表验证！！