拉普拉斯矩阵

拉普拉斯矩阵(Combinatorial Laplacian)

　　拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子，主要应用在图论中，作为一个图的矩阵表示。

　　给定一个有 $n$ 个顶点的图 $G$，它的拉普拉斯矩阵：

　　　　$L=D-A$

　　其中 $D$ 为图的度矩阵，$A$ 为图的邻接矩阵。度矩阵在有向图中，只需要考虑出度或者入度中的一个。

　　　　

　　性质

1. 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵；
2. 特征值中 0 出现的次数就是图连通区域的个数；
3. 最小特征值是 0，因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0；
4. 最小非零特征值是图的代数连通度。

Symmetric normalized Laplacian

　　L 左乘 度矩阵 的 $-1/2$ 次，再右乘度矩阵的 $-1/2$ 次，展开得到单位矩阵 $I$ 减去 $A$ 左乘度矩阵的 $-1/2$ 次，再右乘度矩阵的 $-1/2$ 次。

　　　　$L^{ ext {sym }}:=D^{-1 / 2} L D^{-1 / 2}=I-D^{-1 / 2} A D^{-1 / 2}$

　　该矩阵中的元素由下面的式子给出：

　　　　　　$L_{i, j}^{s y m}:=left{egin{array}{ll} 1 & ext { if } i=j ext { and } operatorname{deg}left(v_{i} ight) eq 0 \ -frac{1}{sqrt{operatorname{deg}left(v_{i} ight)  operatorname{deg}left(v_{j} ight)}} & ext { if } i eq j ext { and } v_{i} ext { is adjacent to } v_{j} \ 0 & ext { otherwise. } end{array} ight.$

Random walk normalized Laplacian 

　　　　$L^{r w}=D^{-1} L=I-D^{-1} A$

　　　　$L_{i j}^{r w}=left{egin{array}{ll} 1 & ext { if } i=j ext { and } D_{i i} eq 0 \ -frac{1}{D_{i i}} & ext { if } i eq j ext { and } v_{i} ext { is adjacent to } v_{j} \ 0 & ext { otherwise } end{array} ight.$