梯度消失、爆炸带来的影响
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产生的原因
以上图中含有三个隐藏层的单神经元神经网络为例,激活函数使用 Sigmoid :
$sigma(x)=frac{1}{1+e^{-x}}$
$sigma^{prime}(x)=sigma(x)(1-sigma(x))=-left(sigma(x)-frac{1}{2} ight)^{2}+frac{1}{4}$
图中是一个四层的全连接网络,假设每一层网络激活后的输出为 $f_i({x})$,其中 $i$ 为第 $i$ 层,$x$ 代表第 $i$ 层的输入,也就是第 $i−1$ 层的输出,$f$ 是激活函数,那么得出
$f_{i+1}=sigma left(f_{i} * w_{i+1}+b_{i+1} ight)$
记为
$f_{i+1}=sigmaleft(f_{i} * w_{i+1} ight) $ 。
BP算法基于梯度下降策略,以目标的负梯度方向对参数进行调整,参数的更新为 $w leftarrow w+Delta w$ ,如果要更新第二隐藏层的权值信息,根据链式求导法则,更新梯度信息:
${large Delta w_{2}=frac{partial L o s s}{partial w_{2}}=frac{partial L o s s}{partial f_{4}} frac{partial f_{4}}{partial f_{3}} frac{partial f_{3}}{partial f_{2}} frac{partial f_{2}}{partial w_{2}}} $
由
$f_{2}=fleft(f_{1} * w_{2} ight)$
得
${large frac{partial f_{2}}{partial w_{2}}=frac{partial sigma }{partialleft(f_{1} * w_{2} ight)} frac{partial (f_{1} * w_{2} )}{partialleft( w_{2} ight)}=frac{partial sigma }{partialleft(f_{1} * w_{2} ight)} *f_{1} =sigma ^{prime}*f_{1}} $
其中 $f_{1 }$是第一层的输出。
且
$frac{partial f_{4}}{partial f_{3}}=sigma ^{prime} * w_{4}$
$frac{partial f_{3}}{partial f_{2}}=sigma^{prime} * w_{3}$
对激活函数进行求导 $sigma ^{prime}$,如果此部分大于 1 , 那么层数增多的时候,最终的求出的梯度更新将以指数形式增加,即发生梯度爆炸。如果此部分小于1,那么随着层数增多,求出的梯度更新信息将会以指数形式衰减, 即发生了梯度消失。另外,需要注意的是 $w$ 往往是矩阵形式,对于每个分量 $w_{ij}$ 分析如同激活函数。
$Delta w_{2}=frac{partial L o s s}{partial w_{2}}=frac{partial L o s s}{partial f_{4}}sigma ^{prime} * w_{4}*sigma ^{prime} * w_{3}*sigma ^{prime}*f_{1}$
从深层网络角度来讲,不同的层学习的速度差异很大,表现为网络中靠近输出的层学习的情况很好,靠近输入的层学习的很慢,有时甚至训练了很久,前几层的权值和刚开始随机初始化的值差不多。因此,梯度消失、爆炸,其根本原因在于反向传播训练法则,属于先天不足。