哈达玛积(Hadamard product)是矩阵的一类运算，若 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$ 是两个同阶矩阵，若,则称矩阵 $c_{ij}=a_{ij} imes b_{ij}$ 为 $A$ 和 $B$ 的哈达玛积，或称基本积。
1 定义
设 $A, B in mathbb{C}^{m imes n}$ 且 $A=left{a_{i j} ight}$，$B=left[b_{i j} ight]$， 称 $m imes n$ 矩阵
$left[egin{array}{cccc}a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & cdots & a_{1 n} b_{1 n} \a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & cdots & a_{2 n} b_{2 n} \vdots & vdots & & vdots \a_{m 1} b_{m 1} & a_{m 2} b_{m 2} & cdots & a_{m n} b_{m n}end{array} ight]$
为矩阵 $A$ 与 $B$ 的哈达玛(Hadamard)积，记作 $A circ B$ 。
$left(egin{array}{lll}mathrm{a}_{11} & mathrm{a}_{12} & mathrm{a}_{13} \mathrm{a}_{21} & mathrm{a}_{22} & mathrm{a}_{23} \mathrm{a}_{31} & mathrm{a}_{32} & mathrm{a}_{33}end{array} ight) odotleft(egin{array}{lll}mathrm{b}_{11} & mathrm{~b}_{12} & mathrm{~b}_{13} \mathrm{~b}_{21} & mathrm{~b}_{22} & mathrm{~b}_{23} \mathrm{~b}_{31} & mathrm{~b}_{32} & mathrm{~b}_{33}end{array} ight)=left(egin{array}{llllll}mathrm{a}_{11} & mathrm{~b}_{11} & mathrm{a}_{12} & mathrm{~b}_{12} & mathrm{a}_{13} & mathrm{~b}_{13} \mathrm{a}_{21} & mathrm{~b}_{21} & mathrm{a}_{22} & mathrm{~b}_{22} & mathrm{a}_{23} & mathrm{~b}_{23} \mathrm{a}_{31} & mathrm{~b}_{31} & mathrm{a}_{32} & mathrm{~b}_{32} & mathrm{a}_{33} & mathrm{~b}_{33}end{array} ight)$
2 哈达玛积的主要性质
由矩阵的 Hadamard 积的定义显然有
$A circ 0=0 circ A=0, A circ B=B circ A,(A+B) circ C=(A circ C)+(B circ C)$
并且
$A circ B=P(A otimes B) Q$
其中
$egin{array}{l}P=E_{11}+E_{2, m+2}+ldots+E_{m, m^{2}} in mathbb{R}^{m imes m^{2}} \Q=E_{11}+E_{n+2,2}+ldots+E_{n^{2} imes n} in mathbb{R}^{n^{2} imes n}end{array}$
特别地，若 $m=n$ ，则 $Q=P^{T}$ ，且
$A circ B=P(A otimes B) P^{T}$
因而 $A circ B$ 是 $A otimes B$ 的主子阵，故有下面的命题。
命题1 设 $A, B in mathbb{C}^{m imes n}$, $operatorname{rankA}=r_{1}, operatorname{rank} B=r_{2}$ , 则
$operatorname{rank}(A circ B) leqslant r_{1} r_{2}$
命题2 设 $A, B in mathbb{C}^{m imes n}$，$A, B geq 0$, 则
$lambda_{min }(A circ B) geqslant lambda_{min }(A) lambda_{min }(B)$
命题3 设 $A, B in mathbb{C}^{m imes n}$, 若 $A >0, B>0$ , 则 $A circ B>0$。
命题4 设 $A, B in mathbb{C}^{m imes n}$ ,
$D=operatorname{diag}left(d_{1}, d_{2}, ldots, d_{n}
ight), E=operatorname{diag}left(e_{1}, ldots, e_{n}
ight)$
则
$(D A) circ(B E)=A circ(D B E)=(D A E) circ B$