可逆矩阵与奇异矩阵 Learner

可逆矩阵

• 矩阵  $A$ 为  $n$  阶方阵，若存在  $n$  阶矩阵  $B$  ，使得矩阵  $A、B$  的乘积为单位阵，则称  $A$  为可逆阵，$B$  为  $A$  的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

定义

• 设  $P$  是数域，  $A \in P^{n \times n}$  ，若存在  $B \in P^{n \times n}$  ，使得  $A B=B A=E$ ， $E$  为单位阵，则称  $A$  为可逆阵， $ B$  为  $A$  的逆矩 阵，记为  $B=A^{-1}$  。若方阵  $A$  的逆阵存在，则称  $A$  为可逆矩阵或非奇异矩阵。 

性质

• 若  $A$  为可逆矩阵，则  $A$  的逆矩阵是唯一的。
• 设  $A 、 B$   是数域  $P$   上的  $n$   阶矩阵， $k \in P$  。
• 若  $A$   可逆，则   $A ^{-1} 和 A^{T}$   也可逆，且  $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A ，\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$ ;
• 若  $A$   可逆，则 $k A$  可逆  $\Leftrightarrow k \neq 0$  ，且  $(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} $;
• $A 、 B$   均可逆  $\Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $。

常用方法

• 判断或证明  $A$  可逆的常用方法:

1. 1. 证明 $|A| \neq 0$ ；
   2. 找一个同阶矩阵 $B$ ，验证 $A B=B A=E$ ；
   3. 证明 $A$ 的行向量 (或列向量) 线性无关。

• 求   $A^{-1}$  的方法:

1. 1. 公式法:  $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$  ，其中   $A^{*}$  为矩阵  $A$  的伴随矩阵。
   2. 初等变换法: 对  $( A E) $  作初等变换，将  $A$  化为单位阵  $E$  ，单位矩阵  $E$  就化为  $A^{-1}$ 。

非奇异矩阵

• 非奇异矩阵是行列式不为 $0$ 的矩阵，也就是可逆矩阵。意思是 $n$ 阶方阵 $A$ 是非奇异方阵的充要条件是 $A$ 为可逆矩阵，也即 $A$ 的行列式不为零。 即矩阵（方阵） $A$ 可逆与矩阵 $A$ 非奇异是等价的概念。

基本信息

• $n$  阶方阵  $A$  是非奇异方阵的充要条件是 $A$  为可逆矩阵，也即  $A$  的行列式不为零。 即矩阵（方阵）$A$  可逆与矩阵 $A$  非奇异是等价的概念。
• 对一个  $n$  行 $n$  列的非零矩阵  $A$，如果存在一个矩阵  $B$  使 $AB = BA =E$（ $E$  是单位矩阵），则称  $A$  是可逆的，也称  $A$  为非奇异矩阵，此时  $A$  和  $B$  互为逆矩阵。
• 一个非奇异矩阵可表示成若干个初等矩阵之积。
• 一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
• 一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
• 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
• 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
• 一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n
• $AX=b$  有唯一解
• $AX=0$  有且仅有零解
• $A$  可逆
• 如果  $n$  阶方阵  $A$  奇异，则一定存在一个  $n*1$  阶非零向量  $X$  使： $X'AX=0$；成立

奇异矩阵

• 奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。

• 首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵，若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于  $0$，若等于 $0$  ，称矩阵   $A$  为奇异矩阵；若不等于  $0$ ，称矩阵  $A$  为非奇异矩阵。 同时，由  $|A|≠0$  可知矩阵  $A$  可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果  $A$  为奇异矩阵，则  $AX=0$  有无穷解，$AX=b$  有无穷解或者无解。如果  $A$  为非奇异矩阵，则  $AX=0$  有且只有唯一零解，$AX=b$  有唯一解。

用途示例

• 非奇异矩阵还可以表示为若干个初等矩阵的乘积，证明中往往会被用到。
• 如果    $A_{n×n}$   为奇异矩阵（singular matrix）<=> $A$ 的秩 $Rank(A)<n$.
• 如果   $A_{n×n}$   为非奇异矩阵（nonsingular matrix）<=> $A$ 满秩，$Rank(A)=n$ .

特点

• 一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
• 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
• 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
• 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。