UVA 11651

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-11651

解题思路：

　　思路来源于网络。

　　DP + 矩阵快速幂。

　　设 dp[i][j] 为满足 score 为 i 且最后一位为 j 的数字的个数。则不难推出其状态转移方程：dp[i][j] = Sum( dp[i-d][k] ) { 其中d=(j-k)*(j-k), i!=k }。

　　因为 score 最高可到 1e9，一是开不出那么大的数组，二是会超时，所以我们需要再加上矩阵快速幂优化。

　　1、对于一个 dp[i][j]，只有 i > score >= max(i - (base-1)² ,0) 的这一部分有可能对其结果产生影响；

　　2、这个dp是有周期性，对于score而言，其周期为(base-1)² {也就是说，假如 dp[i][j] = dp[i-k1][b1] + dp[i-k2][b2] + dp[i-k3][b3]，那么对于任意ib = i + k*(base-1)² （k为任意整数），dp[ib][j] = dp[ib-k1][b1] + dp[ib-k2][b2] + dp[ib-k3][b3]） }。

　　由于有上述两个性质，故可以用矩阵快速幂优化。

　　额，感觉讲的不太好。。。在下尽力了。。。下面引用一位大神（http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/5256508.html）的一张图片。。。其实思路也是引用的（逃

　　当base=3时，有如下转移：（注意，其中倒数第三行有一个错误。至于哪里错了，就留给读者自己发现吧。）

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef unsigned int ui;    //这里要是不用 unsigned int 的话就会报段错误。
const int maxn=150;
ui dp[25][6];
struct Matrix {
   ui mat[maxn][maxn];
};
Matrix Multiply(Matrix x,Matrix y,int n){
    Matrix tmp;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++) tmp.mat[i][j]=0;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            for(int k=0;k<n;k++){
                tmp.mat[i][j]+=x.mat[i][k]*y.mat[k][j];
            }
        }
    }
    return tmp;
}
Matrix Fast_Power(Matrix a,int m,int n){
    Matrix res;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        for(int j=0;j<maxn;j++) res.mat[i][j]=0;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)    res.mat[i][i]=1;
    while(m){
        if(m&1) res=Multiply(res,a,n);
        m>>=1;
        a=Multiply(a,a,n);
    }
    return res;
}
int main(){
    int T,base,sc;
    Matrix temp,Right;
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1;t<=T;t++){
        scanf("%d%d",&base,&sc);
        printf("Case %d: ",t);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(Right.mat,0,sizeof(Right.mat));
        memset(temp.mat,0,sizeof(temp.mat));
        int ind=1;
        dp[0][0]=0;                 //注意：dp[0][0] = 0, dp[0][i] = 1 (i>0)
        Right.mat[0][0]=0;
        for(int i=1;i<base;i++){
            dp[0][i]=1;
            Right.mat[ind][0]=dp[0][i];
            ind++;
        }

        for(int i=1;i<(base-1)*(base-1);i++){
            for(int j=0;j<base;j++){
                for(int k=0;k<i;k++){
                    for(int z=0;z<base;z++){
                        if(z!=j&&i-k==(z-j)*(z-j))  dp[i][j]+=dp[k][z];
                    }
                }
                Right.mat[ind][0]=dp[i][j];
                ind++;
            }
        }
        ui cnt=0;
        for(int i=0;i+base<(base-1)*(base-1)*base;i++)
            temp.mat[i][i+base]=1;
        for(int i=0;i<base;i++){
            for(int j=0;j<(base-1)*(base-1);j++){
                for(int k=0;k<base;k++){
                    if(k!=i&&(base-1)*(base-1)-j==(i-k)*(i-k))    temp.mat[base*((base-1)*(base-1)-1)+i][j*base+k]=1;
                }
            }
        }
        temp=Fast_Power(temp,sc,(base-1)*(base-1)*base);
        Matrix ans=Multiply(temp,Right,(base-1)*(base-1)*base);
        for(int i=0;i<base;i++)    cnt=cnt+ans.mat[i][0];
        printf("%u
",cnt);

    }
    return 0;
}