HDU4465 Candy

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4465

知识点：　　概率和期望

题目大意：

　　懒小孩有 2 个盒子，每个盒子里面有 (n (1 le n le 2 imes 10^5)) 颗糖，懒小孩每天有 (p (0 le p le 1)) 的概率打开第一个盒子，当然，打开另一个盒子的概率就是 (p-1) 了。问当某一天他打开一个盒子，发现其中没有糖，然后再去打开另一个盒子的时候，该盒子中的糖的期望值是多少？

解题思路：

　　设小孩在第 (i  (i: n+1 o 2n+1)) 天发现一个盒子里面没有糖，此时有两种情况：第一个盒子没有糖，则第二个盒子里面糖数的期望值为 (C_{i-1}^{n} underline{p^{n+1}} (1-p)^{i-1-n} (2n-i+1)) (注意划线处是 (p^{n+1}) 而不是 (p^n) ，因为第一个盒子一共被选了 (n+1) 次）；同理，第二个盒子没有糖时，第一个盒子里面糖数的期望值为 (C_{i-1}^{n} p^{i-1-n} (1-p)^{n+1} (2n-i+1)) .

　　公式明确了，而且我们不难发现：第 (i+1) 天的期望值可以由第 (i) 天推得，但现在的问题是：当 n 很大时，组合数会大得爆 (long long)，但概率在 N 多次方下会小成 0 。于是我们只好用 (log())先取这两者的对数，然后先在对数的状态下将二者加起来，然后再用 (exp()) 处理他们的和，这样得到的结果也相当于两者相乘的积。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    int n,kase=1;
    double p;
    while(scanf("%d%lf",&n,&p)==2){
        double C=log(1.0);
        double p1=0,p2=0;   //p1 用于求第一种情况，而 p2 用于求第二种情况
        for(int i=0;i<n+1;i++)    p1+=log(p),p2+=log(1-p);
        double ans=0;
        for(int i=n+1;i<=2*n+1;i++){
            ans=ans+(exp(C+p1)+exp(C+p2))*(2*(double)n-i+1);
            C+=log((double)i/((double)i-n));
            p1+=log(1-p),p2+=log(p);
        }
        printf("Case %d: %.6lf
",kase++,ans);
    }
    return 0;
}