莫比乌斯反演套路三、四--BZOJ2154: Crash的数字表格 && BZOJ2693: jzptab

t<=1e4个询问每次问n,m<=1e7，$sum_{1leqslant x leqslant n,1 leqslant yleqslant m}lcm(x,y)$。

首先题目要求的是$sum_{1 leqslant x leqslant n,1 leqslant y leqslant m}lcm(x,y)=sum_{1 leqslant x leqslant n,1 leqslant y leqslant m}frac{x*y}{(x,y)}$，

啊很好那来枚举gcd吧，$sum_{t=1}^{min(n,m)} t^{-1} f(t)$，其中$f(t)=sum_{1leqslant x leqslant n,1leqslant y leqslant m,(x,y)=t} x*y$，哦太棒了来反演吧。

套路三：反演个鬼啊先化一化：$f(t)=t*t*sum_{1 leqslant x leqslant n,1 leqslant y leqslant m,(x,y)=1} x*y$。

好来演$g(t)=sum_{1 leqslant x leqslant n,1leqslant y leqslant m}xy=frac{x*(x+1)}{2}frac{y*(y+1)}{2}$，$f(t)=t*t*sum_{1 leqslant d leqslant t}mu(d)frac{n}{d}frac{m}{d}$。

代进去！前后枚举约数和除数暴力算即可。$sqrt n * sqrt n$=O(n)搞定。

套路三就是反演之前冷静一下变个型啦。

套路四：化个鬼啊直接反演：$sum_{t=1}^{min(n,m)} t^{-1} sum_{1leqslant x leqslant n,1leqslant y leqslant m,(x,y)=t} x*y =sum_{t=1}^{min(n,m)} t^{-1} sum_{t|d} mu(frac{d}{t}) sum_{1 leqslant x leqslant n,1leqslant y leqslant m,d|(x,y)} x*y= sum_{t=1}^{min(n,m)} t^{-1} sum_{t|d} mu(frac{d}{t}) * d^2 * frac{(1+frac{n}{d})frac{n}{d}}{2} frac{(1+frac{m}{d})frac{m}{d}}{2}=sum_{t=1}^{min(n,m)}sum_{t|d} mu(frac{d}{t})* frac{d}{t} * d * frac{(1+frac{n}{d})frac{n}{d}}{2} frac{(1+frac{m}{d})frac{m}{d}}{2} = sum_{d=1}^{min(n,m)} frac{(1+frac{n}{d})frac{n}{d}}{2} frac{(1+frac{m}{d})frac{m}{d}}{2} * d * sum_{t|d} mu(t) * t$。

漂亮！前面一坨可以根号枚举，如果能得到线性得到所有$d * sum_{t|d} mu(t) * t$就可以了。先不*d，这东西不是个积性函数么？（打表可知，易证）

线性筛筛出来然后记个前缀和，就可以$O(n)$预处理，然后$O(sqrt n)$回答每个询问了。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<bitset>
#include<algorithm>
//#include<cmath>
using namespace std;

const int mod=20101009;
int T,n,m;
#define maxn 10000011
int inv[maxn],miu[maxn],prime[maxn],sum[maxn],lp; bool notprime[maxn];
void pre(int n)
{
    miu[1]=1; lp=0; sum[1]=1;
    long long tmp;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!notprime[i]) {prime[++lp]=i; miu[i]=-1; sum[i]=mod-i+1;}
        for (int j=1;j<=lp && (tmp=1ll*prime[j]*i)<=n;j++)
        {
            notprime[tmp]=1;
            if (i%prime[j]) miu[tmp]=-miu[i],sum[tmp]=1ll*sum[i]*sum[prime[j]]%mod;
            else {miu[tmp]=0; sum[tmp]=sum[i]; break;}
        }
    }
    for (int i=2;i<=n;i++) sum[i]=1ll*sum[i]*i%mod,sum[i]+=sum[i-1],sum[i]-=sum[i]>=mod?mod:0;
//    for (int i=1;i<=n;i++) cout<<sum[i]<<' ';cout<<endl;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    pre(min(n,m));
//    scanf("%d",&T);
//while (T--)
//{
    int ans=0;
    for (int i=1,to=min(n,m),last,hh=((mod+1)>>1)*1ll*((mod+1)>>1)%mod;i<=to;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=1ll*(n/i)*(m/i)%mod*(1+(n/i))%mod*(1+(m/i))%mod*hh%mod*(sum[last]-sum[i-1])%mod;
        ans-=ans>=mod?mod:0,ans+=ans<0?mod:0;
    }
    printf("%d
",ans);
//}
    return 0;
}