Codeforces908G. New Year and Original Order

给n<=10^700，问1到n中每个数在各数位排序后得到的数的和。答案膜1e9+7。

一看就是数位DP啦。。然而并没有什么思路。。

可以尝试统计n(i,j)表示数j在第i位的出现次数，知道了这个数组后就可以算答案了。可以枚举j，做一次DP，f(a,b,0/1)--考虑第a~n个数，有b个j，是否大于给定数字（因为当前大于给定数字不一定dp到前面的数就大于，所以当前大于给定数字的数也是有贡献的），等等光知道有多少j并不能确定第i位是否有j，行不通。

套路--k(i,j)表示第i位出现的>=j的数字的出现次数，则$n(i,j)=k(i,j)-k(i,j+1)$。现在f(a,b,0/1)中的b则表示有b个>=j的数，那么就可以递推了。用$X_a$表示给定数字第a位是谁：

1、$j>X_a$：$f(a,b,0)=(f(a+1,b,0)+f(a+1,b,1))*X_a+f(a+1,b,0),f(a,b,1)=(f(a+1,b-1,0)+f(a+1,b-1,1))*(10-j)+(f(a+1,b,0)+f(a+1,b,1))*(j-X_a-1)+f(a+1,b,1)$

2、$j<=X_a$：$f(a,b,0)=(f(a+1,b,0)+f(a+1,b,1))*j+(f(a+1,b-1,0)+f(a+1,b-1,1))*(X_a-j)+f(a+1,b-1,0),f(a,b,1)=(f(a+1,b-1,0)+f(a+1,b-1,1))*(10-X_a-1)+f(a+1,b-1,1)$。

还没完，边界条件：1、$j>X_n$：$f(n,0,0)=X_a+1,f(n,0,1)=j-X_a-1,f(n,1,1)=10-j,f(n,1,0)=0$。

2、$j<=X_n$：$f(n,0,0)=j,f(n,0,1)=0,f(n,1,0)=X_n-j+1,f(n,1,1)=10-X_n-1$。

这些加一减一、取等取不等的特别注意。把<和=归在一类是之前在草稿纸上推过发现可以合的。

然后就没了。注意检查膜。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<map>
//#include<bitset>
#include<algorithm>
//#include<cmath>
using namespace std;

int n;
#define maxn 711
char s[maxn];
const int mod=1e9+7;
int kk[maxn][12],f[maxn][maxn][2];
int main()
{
    scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);
    for (int j=0;j<=9;j++)
    {
        int num=s[n]-'0';
        if (j>num) {f[n][0][0]=num+1; f[n][1][0]=0; f[n][0][1]=j-num-1; f[n][1][1]=10-j;}
        else {f[n][0][0]=j; f[n][1][0]=num-j+1; f[n][0][1]=0; f[n][1][1]=10-num-1;}
        
        for (int a=n-1;a;a--)
        {
            int num=s[a]-'0';
            if (j>num)
            {
                f[a][0][0]=(1ll*(f[a+1][0][0]+f[a+1][0][1])*num+f[a+1][0][0])%mod;
                f[a][0][1]=(1ll*(f[a+1][0][0]+f[a+1][0][1])*(j-num-1)+f[a+1][0][1])%mod;
                for (int b=1,to=n-a+1;b<=to;b++)
                {
                    f[a][b][0]=(1ll*(f[a+1][b][0]+f[a+1][b][1])*num+f[a+1][b][0])%mod;
                    f[a][b][1]=(1ll*(f[a+1][b-1][0]+f[a+1][b-1][1])*(10-j)
                    +1ll*(f[a+1][b][0]+f[a+1][b][1])*(j-num-1)+f[a+1][b][1])%mod;
                }
            }
            else
            {
                f[a][0][0]=(1ll*(f[a+1][0][0]+f[a+1][0][1])*j)%mod;
                f[a][0][1]=0;
                for (int b=1,to=n-a+1;b<=to;b++)
                {
                    f[a][b][0]=(1ll*(f[a+1][b][0]+f[a+1][b][1])*j
                    +1ll*(f[a+1][b-1][0]+f[a+1][b-1][1])*(num-j)+f[a+1][b-1][0])%mod;
                    f[a][b][1]=(1ll*(f[a+1][b-1][0]+f[a+1][b-1][1])*(10-num-1)+f[a+1][b-1][1])%mod;
                }
            }
        }
        for (int i=n;i;i--) f[1][i][0]+=f[1][i+1][0],f[1][i][0]-=f[1][i][0]>=mod?mod:0,kk[i][j]=f[1][i][0];
    }
    int ans=0;
    for (int i=1,ten=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=0;j<=9;j++)
            ans+=1ll*(kk[i][j]-kk[i][j+1]+mod)*ten%mod*j%mod,
            ans-=ans>=mod?mod:0,ans+=ans<0?mod:0;
        ten=1ll*ten*10%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}