BZOJ3456: 城市规划

n<=1.3e5的无向简单连通图个数。mod 1004535809。

听说是很多人的多年坑。。？还好我见识少

首先用容斥递推，$f(i)$表示$i$个点答案。如果不考虑连通就是$2^{frac{i(i-1)}{2}}$，然后枚举所有不连通的情况（我就不会了）。

枚举最后一个点所在集合大小$j$，我需要在剩下$i-1$个点里面挑$j-1$个来陪他，然后这坨点联通的方案就$f(j)$，其他点乱连，就$2^{frac{(i-j)(i-j-1)}{2}}$。

好！$f(i)=2^{frac{i(i-1)}{2}}-sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}f(j)2^{frac{(i-j)(i-j-1)}{2}}$。

C拆掉，$f(i)=2^{frac{i(i-1)}{2}}-sum_{j=1}^{i-1}frac{f(j)(i-1)!2^{frac{(i-j)(i-j-1)}{2}}}{(j-1)!(i-j)!}$

按照套路，两边除$(i-1)!$，$frac{f(i)}{(i-1)!}=frac{2^{frac{i(i-1)}{2}}}{(i-1)!}-sum_{j=1}^{i-1}frac{f(j)2^{frac{(i-j)(i-j-1)}{2}}}{(j-1)!(i-j)!}$

有相似的形式，很好！！！令$g(i)=frac{f(i)}{(i-1)!}$，其中$g(0)=0$，$h(i)=frac{2^{frac{i(i-1)}{2}}}{i!}$，其中$h(0)=0$，$s(i)=frac{2^{frac{i(i-1)}{2}}}{(i-1)!}$，其中$s(0)=0$。

搞出他们三人的生成函数，可知$g=s-g*h$，得$g=frac{s}{1+h}$，好！多项式求逆再乘一次。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<map>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m;
#define maxn 262222
const int mod=1004535809,G=3; int rev[maxn];

int powmod(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod; b>>=1;
    }
    return ans;
}

void dft(int *a,int n,int type)
{
    int wei=-1,tnt=n; while (tnt) wei++,tnt>>=1;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        rev[i]=0;
        for (int j=0;j<wei;j++) rev[i]|=((i>>j)&1)<<(wei-j-1);
    }
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) {int t=a[i]; a[i]=a[rev[i]]; a[rev[i]]=t;}
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int w=powmod(G,(mod-1)/(i<<1));
        if (type==-1) w=powmod(w,mod-2);
        for (int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
        {
            int t=1;
            for (int k=0;k<i;k++,t=1ll*t*w%mod)
            {
                int tmp=1ll*t*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k+i]=(a[j+k]-tmp+mod)%mod;
                a[j+k]=(a[j+k]+tmp)%mod;
            }
        }
    }
    if (type==-1)
    {
        int inv=powmod(n,mod-2);
        for (int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
    }
}

void mul(int *a,int *b,int *c)
{
    dft(a,n,1); dft(b,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++) c[i]=1ll*i[a]*i[b]%mod;
    dft(c,n,-1);
}

int tmp[maxn];
void nee(int *a,int n,int *ans)
{
    if (n==1) {ans[0]=powmod(a[0],mod-2); return;}
    nee(a,n>>1,ans);
    for (int i=0;i<(n>>1);i++) tmp[i]=a[i]; for (int i=(n>>1);i<n;i++) tmp[i]=0;
    dft(ans,n,1); dft(tmp,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++) ans[i]=((ans[i]+ans[i]-1ll*ans[i]*ans[i]%mod*tmp[i]%mod)+mod)%mod;
    dft(ans,n,-1); for (int i=(n>>1);i<n;i++) ans[i]=0;
}

int s[maxn],g[maxn],h[maxn],u[maxn],fac[maxn],inv[maxn],two[maxn],tt[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=powmod(fac[n],mod-2); for (int i=n;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
    two[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) two[i]=(two[i-1]<<1)%mod;
    tt[0]=0; for (int i=1;i<=n;i++) if (i&1) tt[i]=powmod(two[i>>1],i); else tt[i]=powmod(two[i>>1],i-1);
    s[0]=0; for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=1ll*tt[i]*inv[i-1]%mod;
    h[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) h[i]=1ll*tt[i]*inv[i]%mod;
    
    m=n+n; for (n=1;n<=m;n<<=1); m>>=1;
    nee(h,n,u); mul(u,s,g);
    printf("%lld
",1ll*g[m]*fac[m-1]%mod);
    return 0;
}