Codeforces932E. Team Work

求$sum_{i=0}^nC_n^ii^k$。n<=1e9,k<=5000。

方法一：大力推公式

$sum_{i=0}^nC_n^ii^k$

闪一句：幂转斯二林（第二类斯特林数）为什么叫斯二林呢因为第一类叫斯大林！

$=sum_{i=0}^nC_n^isum_{j=0}^{k}S(k,j)A_i^j$

$=sum_{i=0}^nfrac{n!}{i!(n-i)!}sum_{j=0}^kS(k,j)frac{i!}{(i-j)!}$

$=n!sum_{i=0}^nsum_{j=0}^kS(k,j)frac{1}{(n-i)!(i-j)!}$

闪一句：重要！移花接木法，见到下面有个$(n-i)!(i-j)!$，上面立即配个$(n-j)!$，才能把j分离出来

$=n!sum_{i=0}^nsum_{j=0}^kS(k,j)C_{n-j}^{n-i}frac{1}{(n-j)!}$

$=n!sum_{j=0}^k S(k,j)frac{1}{(n-j)!}sum_{i=0}^nC_{n-j}^{n-i}$

$=sum_{j=0}^k S(k,j)frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j}$

搞定。这样的话可以出K=1e5来考斯特林预处理。这里只写暴力。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<map>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,K;
#define maxn 5011
const int mod=1e9+7;
int dmi[maxn],two[maxn],str[maxn][maxn];
int powmod(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod; b>>=1;
    }
    return ans;
}
void pre(int n,int m)
{
    str[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        str[i][0]=0;
        for (int j=1;j<=i;j++) str[i][j]=(str[i-1][j-1]+1ll*j*str[i-1][j])%mod;
    }
    dmi[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) dmi[i]=dmi[i-1]*1ll*(m-i+1)%mod;
    two[0]=powmod(2,m); for (int i=1,tmp=(mod+1)>>1;i<=n;i++) two[i]=two[i-1]*1ll*tmp%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    pre(K,n);
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=K;i++) ans=(ans+str[K][i]*1ll*dmi[i]%mod*two[i])%mod;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

方法二：组合意义转换

问题即求：对每个集合，从中可重复地挑K个人，问方案。

那咋不能先挑人再统计集合啊？挑人之后，一个满足这挑人方案的集合有多少种呢？首先挑的这些人肯定是要有的，其他人随意。但注意，这里挑人是重复的，所以挑的人数不等于挑的人种，就是把n看成n种人。那假设挑了k个人，j种人，对答案的贡献是$2^{n-j}$。那挑i个人，j种人，有多少种方案？大力dp，$f(i,j)=f(i-1,j)*j+f(i-1,j-1)*(n-j+1)$。

代码？自己写。