Codeforces663E. Binary Table

$n leq 20,m leq 100000$的01矩阵，可整行整列01翻转，问最少剩几个1.

一个暴力的做法是枚举$2^n$种行翻转然后$m$列扫一遍。但其实在行翻转情况确定的情况下我们只关心两个东西：某一列在行翻转后剩几个1，以及有几个这样的列。$f(i,j)$--在行翻转$j$的情况下，有$i$个1的有多少列。其实就是与$j$有$i$个位不同的有多少列。可以枚举每一个位置$p$，那么这一位上与$j$不同的状态$f(i-1,j xor 2^p)$可以加过来，但要挑去其中$p$已经算过一次的情况，有$f(i-2,j)$这么多种，又要从$f(i-2,j)$中挑去那些$p$这一位算过一次的情况，$f(i-3,j xor 2^p)$，如此循环。但这样枚举完每个位置之后，每种好的情况其实算了$i$次，所以$i imes f(i,j)=sum_{p=0}^{n-1} sum_{t=1}^{i}(-1)^{t-1}f(i-t,j xor (2^p imes (t mod 2)))$。

这样是$2^nn^3$的，但可以发现$sum_{p=0}^{n-1}sum_{t=3}^{i}(-1)^{t-1}f(i-t,j xor (2^p imes (t mod 2)))=(i-2) imes f(i-2,j)$，所以整理一下，$i imes f(i,j)=sum_{p=0}^{n-1}f(i-1,j xor 2^p)+(i-2-n)f(i-2,j)$。少一个$n$。

要再少一个得用FWT。不会。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//#include<math.h>
//#include<set>
//#include<queue>
//#include<bitset>
//#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define LL long long
int qread()
{
    char c; int s=0,f=1; while ((c=getchar())<'0' || c>'9') (c=='-') && (f=-1);
    do s=s*10+c-'0'; while ((c=getchar())>='0' && c<='9'); return s*f;
}

//Pay attention to '-' , LL and double of qread!!!!

int K,n;
#define maxn 1100011
int b[maxn],f[22][maxn];

int main()
{
    K=qread(); n=qread();
    {
        char c;
        for (int i=0;i<K;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
            {
                while ((c=getchar())!='0' && c!='1');
                b[j]|=(c-'0')<<i;
            }
        for (int i=1;i<=n;i++) f[0][b[i]]++;
    }
    int T=1<<K,ans=0x3f3f3f3f;
    for (int i=1;i<=K;i++)
    {
        for (int j=0;j<T;j++)
        {
            if (i>1) f[i][j]=(i-2-K)*f[i-2][j];
            for (int k=0;k<K;k++) f[i][j]+=f[i-1][j^(1<<k)];
            f[i][j]/=i;
        }
    }
    for (int i=0;i<T;i++)
    {
        int tmp=0;
        for (int j=0;j<=K;j++) tmp+=min(j,K-j)*f[j][i];
        ans=min(ans,tmp);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}