1.神经网络模型1
图1
这是一个神经网络的模型，通常设置一个x0,作为偏执单元或者偏置(bias)神经元。
图2
这里最后一句话，说的是系数矩阵θ，神经网络模型中，如果当前在j层有s_j个单元，在j+1层有s_j+1个单元，那么第j层的系数矩阵theta_j，是s_j+1(s_j +1)维的。
//就像图中，三个公式，应该是每层其实都有一个偏置单元。s_j+1是因为输入层得到的结果要是隐含层的输入，隐含层有s_j+1个单元，(s_j +1)是+上本层的偏置单元。
2.神经网络中的分类问题
图3
对于二分类的问题，输出层只有一个输出单元，对于多分类问题(k≥3)，那么输出层就有k个输出单元。
3.神经网络的代价函数
图4
首先第一项是对输出层的输出求和，每个都乘上yk；正则项，theta右上角的（l）表示的是层数，j表示的是第j行吧，也就是一共s_j+1行，i表示的是s_j列，那么一共是L-1层的相加。每一层都加上了一个偏置，但是在图中并没有画出。通常正则化项都不把偏置项加入到其中，但是加入了之后影响也不大。
4.反向传播算法
图5
首先就是需要计算每个单元的误差，怎么计算呢？如图，输出层也就是第4层，就等于当前的计算结果-实际结果；第三层的误差，第三层权重矩阵转置*第四层误差向量*激活函数的导数。
图中还给了一个公式就是——求偏导项的公式——代价函数的对每层权重矩阵单个，求导的公式=l层第j个节点的值*l+1层第i个节点的误差。 （证明过程十分复杂）
图7
z这里代表的是：每层的计算结果，代入激活函数之后就可以作为下一层神经元的输入。是三维的。
以下为伪代码：
图8
将所有误差（三角形的是希腊字符delta的大写形式）都初始化为0，循环m次，最终▲(l)_ij得到的是m个样本中a(l)j▲(l+1)i之和（也就是偏导数之和）。红笔圈画部分是将其转化成矩阵形式的运算，那这么说这个大三角形就应该是(l+1)*(l)，因为它正是用来计算。得出代价函数的所有偏导数之后，就可以使用递归下降或者其他的方法来计算。
图9
1.误差=代价函数对中间项的偏导数，反向传播算法是反向计算每个点的误差。
2.如图中红框内的内容，反向传播时如何计算第二层第二个单元误差，那么就是根据反向来计算，绿色部分是计算第三层第二个单元的，也是权重和下一层的单元的误差求和。这是一个反向计算的过程。
5.梯度检测
为了确保使用BP算法得到的梯度矩阵是正确的，那么就使用手动计算的方法来通过计算导数来判断是否相等。
图10
使用数值方法来估计，在theta旁选一个很小的epsilon，那么下边的红色部分就是计算theta点的导数的公式。同样的道理对向量θ来说：
图11.计算导数
这些公式就是进行梯度检测，其中theta可能是神经网络中系数矩阵（权重矩阵）展开的结果，对theta中的每一个数（分量）求导。
图12.梯度检测算法
for循环，从1到n，前两句=计算theta_i+epsilon，后两句=theta_i-epsilon，再通过计算gradApprox,计算出大约梯度，再与DVec(BP算法中得到的)进行比较，如果大约相等的话， 就可以保证BP算法运行正确，但是在进行BP算法训练分类器之前就要确保此算法不再执行，因为它的执行速度非常慢。
6.随机初始化
图13.theta初始化为什么？
在计算时需要使用初始化的theta，并且根据这个去使用BP算法来进行更新，最终得到theta，那么初试的theta设置成什么呢？初始化为0？这在逻辑回归中是可以的，但是BP算法中却不可以。
图14.初始化情况（相等）
如果将theta全部初始为0，那么图中蓝色线，绿色线，红色线，不论如何更新，各自都始终保持相等，对theta_01,theta_02偏导数相等，那么更新后的值也会保持相等，所以要使用随机初始化方法：
图15.随机初始化，打破对称
对每一个进行随机初始化到区间内，具体操作如15中下两式， 随机化创建一个10行11列的矩阵，值在[0,1]，并且*2*epsilon-epsilon，那么最终值在[-ε，ε]之间。
7.总体回顾
图16.选择一个神经网络模型
输入层中输入单元的个数就是特征的维数，输出层中输出单元的个数就是类别数；一些原则：最好隐含层只有一层，或者是多个隐含层并且每层的数目都相同，通常来说隐含层越多越好，但是计算量会变大；假如y有十个取值，那么输出层中输出单元个数就是10，并且若y=5，那么y=[0,0,0,0,1....]T，这样的取值。
图17.训练一个神经网络
初始化权重；使用前向算法获得对应输出结果；计算代价函数；使用后向算法来计算偏导数；实现时使用了for循环，对每一个样例来说都能进行上述的整个过程，整个过程重复了m次。
图18.训练一个神经网络
使用梯度下降检测BP中的梯度矩阵值，并且停止梯度检测算法；使用梯度下降或者其他最优化算法来使J(θ）变得最小。从下图中就可以看出：
图19.梯度下降的直观表示
当取到最小值时，也就是代价函数最小，那么模型输出与期望输出之间差值是最小的；当J（θ）很大时，二者相差很大，所以使用梯度下降一般可以得到最小值（局部最小值）。