快速幂详解【模板】

快速幂

洛谷链接

AcWing链接

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快速幂的思想

当我们求3⁷时

朴素算法就是Pow，或者连乘7次，这个要进行7次运算

但我们可以用快速幂的思想

3¹=3
3²=9
3³=81

然后再将三次的值相加，就可以求出3⁷
这个思想还可以用于这道题 64位整数乘法

这个思想非常高效，可以将原来O(n)的算法改成O(log²n)

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快速幂的模板

int qmi(int m, int k, int p)
{
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

时间复杂度为（log₂n）

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Ac Code 1（AcWing）

#include <cstdio>

using namespace std;
int a,b,p;


int main()
{
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
    int res=1 % p;
    //%p是因为要防止b=0即0次方，一旦b=0的话，就不会循环，导致输出的时候没有%p
    while(b)
    {
        if(b&1) res= res *1ll *a % p;
        //可能int会存不下，所以*1ll化为long long
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1;  //去掉个位
    }
    printf("%d", res);
    
    return 0;
}

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Ac Code 2 (洛谷)

#include <cstdio>

using namespace std;
int a,b,p;


int main()
{
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
    int res=1 % p;
    int a1=a,b1=b; 
    //%p是因为要防止b=0即0次方，一旦b=0的话，就不会循环，导致输出的时候没有%p
    while(b)
    {
        if(b&1) res= res *1ll *a % p;
        //可能int会存不下，所以*1ll化为long long
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1;  //去掉个位
    }
    printf("%d^%d mod %d=%d",a1,b1,p, res);
    
    return 0;
}