【题解】洛谷P2421[NOI2002]荒岛野人 （Exgcd）

洛谷P2421：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2421

思路

从洞的最大编号开始增大枚举答案

对于每一个枚举的ans要满足C_i+k*P_i≡C_j+k*P_j(mod ans)的k ,都要k>min(L[i],L[j]) 

因为这个ans一定要满足在一个野人死之前可以满足条件

根据上式可以推出C_i+k*P_i=C_j+k*P_j+m*ans   移项得k*(P_i-P_j)+m*ans=C_j-C_i

即可用Exgcd求解此式子

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 20
int n,Max;
int C[maxn],P[maxn],L[maxn];
int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    else
    return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }
}
bool check(int ans)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<=n;j++)//枚举所有的野人 
            {
                int a=P[i]-P[j],c=C[j]-C[i],b=ans,d=gcd(a,b),x=0,y=0;
                if(c%d==0)//运用Exgcd求解 
                {
                    a=a/d,b=b/d,c=c/d;
                    exgcd(a,b,x,y);
                    b=abs(b);
                    x=((x*c)%b+b)%b;
                    if(!x) x+=b;
                    if(x<=min(L[i],L[j])) return false;//满足一个野人已死亡 
                }
           }
        }
        return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>C[i]>>P[i]>>L[i];
        Max=max(Max,C[i]);//求出洞的最大编号 
    }
    for(int i=Max;;i++)//ans至少要大于最大编号 
    {
        if(check(i))//如果满足条件 
        {
            cout<<i;
            return 0;
        }
    }
}