最大网络流dinic

1. 初始化flow（最大流量）为INF（极大值），建边（正向弧和反向弧）
2. bfs寻找增广路看看有没有路，顺便进行深度标号。如果没有路直接结束输出flow。
3. 如果有，我们按照深度dfs。dfs时注意在给正向弧减权时给反向弧加权。
4. ans+=flow,重复2到4步骤，直到无路可走。
5. 输出结束~

以上就是网络流全部内容（误

概念什么的就不讲啦~

下面来仔细分析板子代码。

• 初始化ans=0，构建边
• dinic中心：

while(BFS()) ans+=DFS(start,INF);

• BFS:

inline bool BFS()
{
    memset(dep,-1,sizeof dep);
        //每次BFS更新深度，-1代表未被更新或者无路径访问
    dep[s]=0;
        //起点的深度为0
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(R int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
            if(e[i].dis and dep[e[i].to]==-1)//一定有流并且未被访问
                dep[e[i].to]=dep[u]+1,q.push(e[i].to);
    }
    if(dep[end]==-1)return 0;//如果end的深度为-1，无路径到达，此时最大流
    return 1;
}

• DFS

ll DFS(int x,ll flow)
{
    if(x==end) return flow;//到终点就返回流
    ll used=0;//优化，记录已用过的流
    for(R int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int u=e[i].to;
        if(e[i].dis and dep[u]==dep[x]+1)
        {
            long long w=DFS(u,min(e[i].dis,flow-used));//求出最大流
            used+=w;
            e[i].dis-=w;e[i^1].dis+=w;//i^1为相反方向的边，对应加权
            if(used==flow)return flow;
        }
    }
    if(!used)dep[x]=-1;//无流可走，说明此点已经无意义了
    return used;//最大流
}

P3376 【模板】网络最大流

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue> 
#define R register
#define INF 1<<30
using namespace std;
template <typename T>
inline T read()
{
    T x=0;int w=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-x:x;
}
namespace ysr
{
    typedef long long ll;
    const int maxn=100000;
    struct Edge{
        int to,nxt;
        ll dis;
    }e[200000];
    int cur[maxn],head[maxn],ecnt=1;//这里记为-1的原因时便于访问正向弧和反向弧 
    int n,m,s,end,dep[maxn];
    inline void addedge(int from,int to,ll dis){
        e[++ecnt].to=to,e[ecnt].nxt=head[from],e[ecnt].dis=dis,head[from]=ecnt;
    }
    inline void add(int from,int to,ll dis){
        addedge(from,to,dis);addedge(to,from,0);
    }
    ll DFS(int x,ll flow)
    {
        if(x==end) return flow;
        ll used=0;
        for(R int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int u=e[i].to;
            if(e[i].dis and dep[u]==dep[x]+1)
            {
                long long w=DFS(u,min(e[i].dis,flow-used));
                used+=w;
                e[i].dis-=w;e[i^1].dis+=w;
                if(used==flow)return flow;
            }
        }
        if(!used)dep[x]=-1;
        return used;
    }
    queue<int>q;
    inline bool BFS()
    {
        memset(dep,-1,sizeof dep);
        dep[s]=0;
        q.push(s);
        while(!q.empty())
        {
            int u=q.front();q.pop();
            for(R int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
                if(e[i].dis and dep[e[i].to]==-1)
                    dep[e[i].to]=dep[u]+1,q.push(e[i].to);
        }
        if(dep[end]==-1)return 0;
        return 1;
    }
    inline void work()
    {
        n=read<int>(),m=read<int>(),s=read<int>(),end=read<int>();
        ll ans=0;
        int a,b;
        ll c;
        for(R int i=0;i<m;i++)a=read<int>(),b=read<int>(),c=read<ll>(),add(a,b,c);
        while(BFS())
            ans+=DFS(s,INF);
        printf("%lld
",ans);
    }
}
signed main()
{
    ysr::work();
    return 0;
}

大家一定已经发现我定义了一个cur数组不知道但什么的。这其实就是【当前弧优化】的数组，虽然我在上面没有使用。

这也不是什么高深的玩意。我们证明，如果一个点在之前的dfs中已经把一些边考虑过了，由于在当前和以后的流的dfs中这些边都是增广过的，也就是再也没法做出贡献了，那么我们用一个数组cur记录一下考虑到哪里了然后下一侧dfs时接着上次的就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue> 
#define R register
#define INF 1<<30
using namespace std;
template <typename T>
inline T read()
{
    T x=0;int w=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-x:x;
}
namespace ysr
{
    typedef long long ll;
    const int maxn=100000;
    struct Edge{
        int to,nxt;
        ll dis;
    }e[200000];
    int cur[maxn],head[maxn],ecnt=1;//这里记为-1的原因时便于访问正向弧和反向弧 
    int n,m,s,end,dep[maxn];
    inline void addedge(int from,int to,ll dis){
        e[++ecnt].to=to,e[ecnt].nxt=head[from],e[ecnt].dis=dis,head[from]=ecnt;
    }
    inline void add(int from,int to,ll dis){
        addedge(from,to,dis);addedge(to,from,0);
    }
    ll DFS(int x,ll flow)
    {
        if(x==end) return flow;
        ll used=0;
        for(R int i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            cur[x]=i;
            int u=e[i].to;
            if(e[i].dis and dep[u]==dep[x]+1)
            {
                long long w=DFS(u,min(e[i].dis,flow-used));
                used+=w;
                e[i].dis-=w;e[i^1].dis+=w;
                if(used==flow)return flow;
            }
        }
        if(!used)dep[x]=-1;
        return used;
    }
    queue<int>q;
    inline bool BFS()
    {
        for(R int i=0;i<=n;i++)cur[i]=head[i],dep[i]=-1;
        dep[s]=0;
        q.push(s);
        while(!q.empty())
        {
            int u=q.front();q.pop();
            for(R int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
                if(e[i].dis and dep[e[i].to]==-1)
                    dep[e[i].to]=dep[u]+1,q.push(e[i].to);
        }
        if(dep[end]==-1)return 0;
        return 1;
    }
    inline void work()
    {
        n=read<int>(),m=read<int>(),s=read<int>(),end=read<int>();
        ll ans=0;
        int a,b;
        ll c;
        for(R int i=0;i<m;i++)a=read<int>(),b=read<int>(),c=read<ll>(),add(a,b,c);
        while(BFS())
            ans+=DFS(s,INF);
        printf("%lld
",ans);
    }
}
signed main()
{
    ysr::work();
    return 0;
}