求短多项式分数次幂
概述
本文提供一个方法方便快速地求出形如 (A^k(x)=B(x)) 中 (A(x))，其中(B(x))为短多项式。
细节
[A^k(x) = B(x) \
[A^k(x)]' = B'(x) \
kA^{k-1}(x)A'(x) = B'(x) \
kA^(k-1)(x)A'(x)A(x) = B'(x)A(x) \
kB(x)A'(x) = B'(x)A(x)
]
然后提取出([x^n])即可。
[令A(x) = sum_{i=0}^{|A|} a_i x^i \
B(x) = sum_{i=0}^{|B|} b_i x^i \
A'(x) = sum_{i=0}^{|A|-1} (i+1)a_{i+1} x^i \
B'(x) = sum_{i=0}^{|B|-1} (i+1)b_{i+1} x^i \
b_0cdot a_{n+1} = sum_{i=1}^{|B|}[i-k(n-i+1)]b_i cdot a_{n-i+1}
]
即递推形式