《算法导论》第六章 练习题 Exercise

6.1-1

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　　在高度为 h 的堆中，元素最多有 2^h+1 - 1 个，最少有 2^h  个。注意算法导论里的高度是指深度，从 0 开始而不是从 1 开始。

6.1-2

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　　这很好想，但是不好证明。

　　由已知高度为 h 的堆，它的元素个数满足 2^h   <= n <= 2^h+1 - 1 ，解出 lg(n+1) - 1 <= h <= lgn ，但是它不够“合理”，因为当 n = 2^h+1-1 时，n 等于 2的幂 - 1，此时 lg(n+1) -1 = ⌊lgn⌋ ，所以 ⌊lgn⌋ <= h <= lgn 。而我们默认高度 h 是一个自然数，所以左右界一致，得出 h = ⌊lgn⌋ 。

6.1-3

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　　最大堆的属性告诉我们除了根结点以外的所有结点都要满足 A[PARENT(I)] >= A[I] ，一棵树是递归定义的，所以子树的最大结点肯定是其根结点。

6.1-4

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　　它一定是叶子结点，位于 ⌊lgn⌋ 或 ⌊lgn⌋ - 1 层

6.1-5

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　　按递增排序的话，是的

6.1-6

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　　不是，"PARENT" 6 < "CHILD" 7

6.1-7

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　　通过反证法比较好证明。

　　假设 i ∈ { ⌊n/2⌋+1, ⌊n/2⌋+2, ... , n } ，那么它的孩子的序号至少是 2·(⌊n/2⌋+1), 2·(⌊n/2⌋+2) ，显然不在数组内。

　　所以可以得到结论：堆中叶子结点数 = ⌈n+1⌉

6.2-1

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　　 3 先与左右儿子比较，找到其中最大的关键字并记录它的索引，让它与 3 交换，递归调用实现 3 的子树堆化。

6.2-2

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　　维护最小堆的算法如下：

#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)

MIN-HEAPIFY (A, i)
    left = LEFT (i)
    right = RIGHT (i)
    if left <= A.HEAPSIZE && A[left] < A[i]
        min_index = left
    else
        min_index = i
    if right <= A.HEAPSIZE && A[right] < A[min_index]
        min_index = right
    if min_index != i
        exchange A[i] and A[min_index]
        MIN-HEAPIFY(A, min_index)

　　时间一样，都是 Θ(lgn)

6.2-3

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　　不会进行递归堆化。　　

6.2-4

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　　其子结点的序号超出了堆的大小，程序将视为其子结点不存在，所以不会进行堆化操作。

6.2-5

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　　尾递归改循环控制结构如下：　　

#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)

MAX-HEAPIFY (A, i)
    while i < A.HEAPSIZE
        left = LEFT(i)
        right = RIGHT(i)

        if left < A.HEAPSIZE && A[left] > A[i]
            max_index = left
        else
            max_index = i

        if right < A.HEAPSIZE && A[right] > A[max_index]
            max_index = right

        if max_index != i 
            exchange A[max_index] and A[i]
        else
            return;

6.2-6

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　　...

6.3-1

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　　从 ⌊A.length/2⌋ 开始，即第一个非叶子结点 10 开始(最大)堆化，然后是 3、2、1 。过程很简单，直接写结果了，得到的数组是 {84, 22, 19, 10, 3, 17, 6, 5, 9}

6.3-2

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　　我们从 ⌊n/2⌋ 开始的目的是要让每次迭代前后 i 都是最大堆的根。如果从 1 开始，那么将无法保持最大堆的特性（无法保证循环不变式）。

6.3-3

　　这里将利用到 6.1-7 的结论：堆中叶子结点数 = ⌈n/2⌉

　　首先，当 h = 0 时（算法导论中高度深度都是从 0 开始），高度为零的堆就是叶子结点组成的堆，有  ⌈n/2⌉ 个这样的堆，结点数是 ⌈n/2⌉

　　假设当 h = h-1 时，结论成立。

　　有一颗高度为 h 的堆，如果把它的叶子结点都剪去后它将变成高度为 h - 1 、结点数为 n - ⌈n/2⌉ = ⌊n/2⌋ 的堆，代入 h = h-1 时的结论，有如下推导：

　　

　　同理，我们可以用高度为 h+1 的堆剪去叶子结点得到高度为 h 的堆，其高度与最大结点数的关系还是上式。