一、题目
二、解法
挺有意思的结论题，首先我们搞一些 ( t observations)：
- 每个叶子的深度必须相同。
- 有解的必要条件：设 (len[u]) 为 (u) 到叶子的距离，(f[u][c]) 为 (u) 到叶子的所有路径上字符 (c) 的最大出现次数，如果 (sum f[u][c]leq len[u]) 就有解，因为每条路径都必须有这些字符，而长度不够肯定不合法。
下证观察二是有解的充要条件，考虑归纳法充分性，但是直接归纳这个结论貌似不行，我们把结论改成：对于 (u) 到叶子的每条路径，有 (sum f[u][c]) 个位置字符固定，有 (len[u]-sum f[u][c]) 个位置字符任取。
对于叶子该结论显然成立，对于一个儿子的节点显然成立。
对于二叉树的节点 (u)，考虑它的两个儿子和连向儿子的两条边，儿子适用上述结论：
- 对于字符 (c) 如果 (f[ls][c]<f[rs][c])，那么使用左儿子的自由位置把 (c) 字符调成和右儿子数量一样，如果 (f[ls][c]>f[rs][c]) 那么对右儿子做类似的调整，操作后的自由位置数是 (len[ls]-summax(f[ls][c],f[rs][c]))
- 考虑连儿子的两条边如果都是问号，把这两个问号配对当作一个自由位置。
- 考虑连儿子的两条边左儿子是问号右儿子是字符 (c)，如果 (f[ls][c]>f[rs][c]) 那么右子树有一个自由位置不用调整了，可以和这个问好配对得到一个新的自由位置；如果 (f[ls][c]leq f[rs][c]) 那么把这个问号设置成字符 (c)，自由位置不变；另一种情况同理可得。
- 考虑连两个儿子的边都是字符，如果导致 (sum f[u][c]) 增加 (2) 那么两边都会减少一个自由位置，对于 (u) 来说就减少了一个自由位置；如果 (sum f[u][c]) 增加 (1) 那么势必自由位置数不改变；如果 (sum f[u][c]) 不变那么两边都减少一个自由位置，那么 (u) 增加了一个自由位置。
所以对于 (u) 满足自由位置数是 (len[u]-sum f[u][c])，可以归纳到所有情况。
那么现在的问题是带修维护 (sum f[u][c])，考虑修改一个点需要更新它的所有父亲。
考虑如果一个点只有一个儿子那么我们把它和它的儿子缩成一个点，那么现在树的深度最大是多少呢？因为每个叶子深度一样，这样构造的树是最深的：首先拿一条链，然后链上的每个节点连出一个分支，连到最深的地方，所以缩点之后最深的树深度是 (O(sqrt n))
那么缩点之后暴力跳祖先更新即可，时间复杂度 (O(nsqrt n))
三、总结
找结论一定要找必要条件，然后如果问题的背景是树形结构可以使用归纳法。
时间复杂度和某个量有关，可以找这个量的性质，比如本题缩点之后树深度有很好的性质。
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 150005;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,ans,fk,ban,cnt[M][26],f[M][26];
int sum[M],a[M],fa[M],len[M],id[M];
vector<int> g[M];char s[10];
void dfs(int u)
{
for(auto v:g[u])
{
dfs(v);
if(len[u] && len[u]!=len[v]+1)
{
while(m--) puts("Fou");
exit(0);
}
len[u]=len[v]+1;
}
id[u]=g[u].size()==1?id[g[u][0]]:u;
}
void upd(int u,int c,int w)
{
cnt[u][c]+=w;if(u==id[1]) fk+=w;
for(int x=fa[u];x;x=fa[x])
{
ban-=sum[x]>len[x];
sum[x]-=f[x][c],f[x][c]=0;
for(auto y:g[x])
f[x][c]=max(f[x][c],f[y][c]+cnt[y][c]);
sum[x]+=f[x][c];
ban+=sum[x]>len[x];
}
}
signed main()
{
n=read();m=read();
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int j=read();scanf("%s",s);
a[i]=s[0]-'a';
g[j].push_back(i);
}
dfs(1);
for(int i=1;i<=n;i++) if(id[i]==i)
for(int &x:g[i]) fa[x=id[x]]=i;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(a[i]>=0) upd(id[i],a[i],1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read();scanf("%s",s);
if(a[u]>=0) upd(id[u],a[u],-1);
a[u]=s[0]-'a';
if(a[u]>=0) upd(id[u],a[u],1);
if(ban)
{
puts("Fou");
continue;
}
printf("Shi ");
int ans=0,fre=len[1]-sum[id[1]]-fk;
for(int j=0;j<26;j++)
ans+=(j+1)*(fre+f[id[1]][j]+cnt[id[1]][j]);
printf("%d
",ans);
}
}