浅谈 exgcd

众所周知欧几里得算法是：

[gcd(a,b)=gcd(b,amod \,b) ]

也叫辗转相除法。

拓展欧几里得算法(exgcd)，可以用来找到形如 (ax+by=gcd(a,b)) 的方程的一组特解。

由裴蜀定理知，原方程一定有解。

我们利用辗转相除法（普通欧几里得算法）。

我们设 (d=gcd(a,b))。

我们可以知道，我们辗转相除法的边界是 (a=d,b=0)，此时我们可以知道 (a) 就是最大公约数，我们还可以知道，在这时一定有一解为 (x=1,y=0)，即 (1 imes a+0 imes b=d)。

我们知道 (gcd(a,b)=gcd(b,amod b))，如果我们可以推导出每一次的解 (x) 和 (y)，与相除后的解 (x') 和 (y') 的关系；我们就可以算出其中的一个解了，（(x) 和 (y) 相当于是 (a) 和 $b (的解，)x'$ 和 (y') 是 (a) 变成了 (b)，(b) 变成了 (amod b) 时的解（辗转相除））。

轻易得知：

(egin{cases} ax+by=d\ bx'+(amod b)y'=d end{cases})

则：

[egin{aligned} bx'+left(a-bleftlfloordfrac{a}{b} ight floor ight)y'&=d\ bx'+ay'-bleftlfloordfrac{a}{b} ight floor y'&=d\ ay'+b(x'-leftlfloordfrac{a}{b} ight floor y')&=d\ ext{解得:}&egin{cases} x=y'\y=x'-leftlfloordfrac{a}{b} ight floor y' end{cases} end{aligned} ]

然后我们知道 (x) 与 (x')， (y) 与 (y')， 的关系后就可以求解了：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y) //x.y也可以用pair返回，这里用了引用
{
	if (!b){x=1;y=0;return ;}     //边界
	gcd(b,a%b);                   //辗转相除
	int tmp=y;y=x-(a/b)*y;x=tmp;  //套公式
}
int main()
{
	int a,b,x,y;
	scanf("%d %d",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d %d",x,y);
	return 0;
}