luogu P1244 青蛙过河
这个题太骚了。。。。
题目描述
有一条河，左边一个石墩（(A) 区）上有编号为 (1,2,ldots ,n) 的 (n) 只青蛙，河中有 (k) 个荷叶（C 区），还有 (h) 个石墩（D 区），右边有一个石墩（B 区），如下图所示。(n) 只青蛙要过河（从左岸石墩 A 到右岸石墩 B），规则为：
-
石墩上可以承受任意多只青蛙，荷叶只能承受一只青蛙（不论大小）；
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青蛙可以：(A→B（表示可以从 A 跳到 B，下同），A o C，A o D，C o B，D o B，D o C，C o D)。
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当一个石墩上有多只青蛙时，则上面的青蛙只能跳到比它大一号的青蛙上面。
你的任务是对于给出的 (h,k)，计算并输出最多能有多少只青蛙可以根据以上规则顺利过河。
输入格式
输入两个整数 (h,k)。
输出格式
一个整数，表示最多能有多少只青蛙可以根据以上规则顺利过河。
输入样例
2 3
输出样例
16
数据范围
(h≤20，k leq 10^3)
思路
先理解一下题意：青蛙一开始都在左边岸上，且先跳出的青蛙体型比后跳出的青蛙体型小（也就是先跳出的青蛙能坐在后跳出的青蛙上），青蛙可以选择直接向河对岸跳，也可以从荷叶区、河墩区中转一下到对岸。需要注意的是：一片河墩上面的第一个青蛙，决定了这个河墩上青蛙的最大体型。（有点类似汉诺塔）
动态规划，设(f[h][k])表示用了h个河墩，k个荷叶最多的过河数量，那么我们可以知道(f[0][k] = k+1)（前k个先到荷叶上，最后一个直接到河对岸，前k个再到对岸）。
如果多用一个河墩，我们就有：(f[1][k] = f[0][k] + f[0][k] = 2f[0][k])含义：先让第一队青蛙用这k个荷叶中转到河墩区河墩上（也就是(f[0][k])只），再用让第二队青蛙通过荷叶直接到对岸（(f[0][k])只）。最后让第一队的青蛙继续利用荷叶中转到对岸。整个过程符合题目要求。
两个河墩，我们就可以让第一队青蛙利用k个荷叶和一号河墩中转（(f[1][k])只），到河墩区的二号河墩上，再让二队青蛙利用k个荷叶中转到一号河墩上（(f[0][k])只），再让第三队的青蛙直接利用荷叶中转到对岸（(f[0][k])只），最后二队青蛙过岸、一队青蛙过岸，就算是完成了，总数是(f[2][k] = f[0][k]+f[0][k]+f[1][k] = 4f[0][k])只。
最终通过整理，我们发现：(f[h][k] = f[0][k] imes 2^h = (k+1) imes 2^h)。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int main(){
int h,k;
cin >> h >> k;
cout << (k+1)*(1 << h) << endl;
return 0;
}