[Luogu 3707] SDOI2017 相关分析
前言
Capella 和 Frank 一样爱好天文学。
她常在冬季的夜晚,若有所思地望着东北方上空的五边形中,最为耀眼的一个顶点。
那一抹金黄曾带给她多少美好的遐想!
直到有一天,她做了这一题,并饱受线段树的折磨。
概述
这是一道区间操作的题目,解法有线段树与分块等。
题主选择线段树进行讲解(因为没用分块写这题)。
准备与计算答案
首先要知道,线段树需要维护的数值有哪些。
先来看题目中所给的公式。
(ar x = frac 1 {r-l+1} sum_{i=l}^r x_i)
(ar y = frac 1 {r-l+1} sum_{i=l}^r y_i)
(hat a = frac{sum_{i=l}^r (x_i - ar x)(y_i - ar y)}{sum_{i=l}^r (x_i - ar x)^2})
将线性回归方程的公式展开得((sum_{i=l}^r) 省略为 (sum)):
(hat a = frac{sum (x_i y_i - ar x y_i - ar y x_i + ar x ar y)} {sum (x_i^2 - 2ar x x_i + ar x^2)})
(= frac{sum x_i y_i - ar x sum y_i - ar y sum x_i + (r-l+1) ar x ar y} {sum x_i^2 - 2ar x sum x_i + (r-l+1) ar x^2})
将 (ar x)、(ar y) 代入上式得:
(hat a = frac{sum x_i y_i - frac{sum x_i sum y_i}{r-l+1} - frac{sum x_i sum y_i}{r-l+1} + (r-l+1) frac{sum x_i}{r-l+1} cdot frac{sum y_i}{r-l+1}} {sum x_i^2 - frac{2(sum x_i)^2}{r-l+1} + (r-l+1) (frac{sum x_i}{r-l+1})^2})
(= frac{sum x_i y_i - frac{sum x_i sum y_i}{r-l+1}} {sum x_i^2 - frac{(sum x_i)^2}{r-l+1}})
由此可见,线段树需要维护的数值有 (sum x_i^2)、(sum x_i y_i)、(sum x_i) 以及 (sum y_i)。
设 (v_0 = sum x_i^2, v_1 = sum x_i y_i, v_2 = sum x_i, v_3 = sum y_i),
则最终计算出的 (hat a = frac{v_1 - frac{v_2 v_3}{r-l+1}}{v_0 - frac{v_2^2}{r-l+1}})。
区间加操作
进行区间加操作时,设 (x) 的变化量为 (S),(y) 的变化量为 (T),则各个标记的下传过程如下:
(sum (x_i + S)^2 = sum (x_i^2 + 2Sx_i + S^2))
(= sum x_i^2 + 2S sum x_i + (r-l+1)S^2)
(sum (x_i+S)(y_i+T) = sum (x_i y_i + Sy_i+Tx_i+ST))
(=sum x_i y_i + S sum y_i + T sum x_i + (r-l+1)ST)
(sum (x_i+S) = sum x_i + (r-l+1)S)
(sum (y_i+T) = sum y_i +(r-l+1)T)
特别注意:由于更新 $sum x_i^2 $ 与 (sum x_i y_i) 时,需要用到更新前的 (sum x_i) 与 (sum y_i) 的值,所以应注意顺序。
区间修改操作
前置技能
(1^2 + 2^2 + dots + n^2 = frac {n(n+1)(2n+1)} 6)
转化
试图将区间修改操作转化为区间加操作。
对于 (i in [l,r]),(x_i) 改为 (S+i),(y_i) 改为 (T+i),
相当于将 (i in [l,r]) 的每个 (x_i) 与 (y_i) 都改为 (i) ,
(sum x_i^2 = sum y_i^2 = sum i^2 = frac {r(r+1)(2r+1)} 6 - frac {l(l-1)(2l-1)} 6)(即 (sum_{i=1}^r i^2 -sum_{i=1}^{l-1} i^2))
(sum x_i = sum y_i = sum i = frac {(r-l+1)(l+r)} 2)((r-l+1) 为区间元素个数,(frac {l+r} 2) 为区间平均值)
然后清空Lazy Tag
(无论区间曾经加了多少都没有用,将被统一修改)。
维护操作
清空Lazy Tag
后,对区间 ([l,r]) 进行区间加操作,即:每个 (x_i) 加上 (S),每个 (y_i) 加上 (T)。
更新过程与区间加操作完全相同。
最后还要打上标记c
,表示此区间的子区间需要区间修改操作。
注意事项
-
一定记得下传
Lazy Tag
与c
标记,我就是因为没传才调了一上午+一下午+半个晚上的。 -
本题下传标记部分较为复杂,请一定注意顺序。
结束语
这道题有点像《HAOI2012 高速公路》啊。
线段树这种东西,多推一推也就熟悉啦。
加油,各位队友;加油,自己。
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN=100010;
double x[MAXN],y[MAXN];
int n,m;
class SegmentTree
{
public:
void Build(int i,int l,int r)
{
s[i]=node(l,r);
if(l==r)
{
s[i].v[0]=x[l]*x[l],s[i].v[1]=x[l]*y[r],s[i].v[2]=x[l],s[i].v[3]=y[r];
return;
}
int j=i<<1,mid=l+r>>1;
Build(j,l,mid),Build(j|1,mid+1,r),PushUp(i);
}
void Add(int i,int l,int r,double S,double T)
{
if(l==s[i].l && r==s[i].r)
{
AddModify(i,S,T);
return;
}
if(s[i].l^s[i].r)
PushDown(i);
int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
if(r<=mid)
Add(j,l,r,S,T);
else if(l>mid)
Add(j|1,l,r,S,T);
else
Add(j,l,mid,S,T),Add(j|1,mid+1,r,S,T);
PushUp(i);
}
void Change(int i,int l,int r,double S,double T)
{
if(l==s[i].l && r==s[i].r)
{
ChangeModify(i),AddModify(i,S,T);
return;
}
if(s[i].l^s[i].r)
PushDown(i);
int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
if(r<=mid)
Change(j,l,r,S,T);
else if(l>mid)
Change(j|1,l,r,S,T);
else
Change(j,l,mid,S,T),Change(j|1,mid+1,r,S,T);
PushUp(i);
}
double Ans(double l,double r)
{
double size=r-l+1;
memset(ans,0,sizeof ans);
Sum(1,l,r);
return (ans[1]-ans[2]*ans[3]/size)/(ans[0]-ans[2]*ans[2]/size);
}
private:
double ans[4];
struct node
{
bool c;
double S,T,v[4];
int l,r;
node(int _l=0,int _r=0)
{
l=_l,r=_r,c=S=T=0;
}
}s[MAXN<<2];
double Calc(double i)
{
return i*(i+1)*(2*i+1)/6;
}
void AddModify(int i,double S,double T)
{
double size=double(s[i].r-s[i].l+1);
s[i].v[0]+=S*S*size+2*S*s[i].v[2];
s[i].v[1]+=S*T*size+S*s[i].v[3]+T*s[i].v[2];
s[i].v[2]+=S*size;
s[i].v[3]+=T*size;
s[i].S+=S,s[i].T+=T;
}
void ChangeModify(int i)
{
double l=double(s[i].l),r=double(s[i].r);
s[i].v[0]=s[i].v[1]=Calc(r)-Calc(l-1),s[i].v[2]=s[i].v[3]=(r-l+1)*(l+r)/2,s[i].c=1,s[i].S=s[i].T=0;
}
void PushUp(int i)
{
int l=i<<1,r=l|1;
for(int k=0;k<4;++k)
s[i].v[k]=s[l].v[k]+s[r].v[k];
}
void PushDown(int i)
{
int l=i<<1,r=l|1;
if(s[i].c)
ChangeModify(l),ChangeModify(r);
AddModify(l,s[i].S,s[i].T),AddModify(r,s[i].S,s[i].T);
s[i].c=s[i].S=s[i].T=0;
}
void Sum(int i,int l,int r)
{
if(l==s[i].l && r==s[i].r)
{
for(int k=0;k<4;++k)
ans[k]+=s[i].v[k];
return;
}
if(s[i].l^s[i].r)
PushDown(i);
int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
if(r<=mid)
Sum(j,l,r);
else if(l>mid)
Sum(j|1,l,r);
else
Sum(j,l,mid),Sum(j|1,mid+1,r);
}
}SgT;
int main(int argc,char *argv[])
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lf",&x[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lf",&y[i]);
SgT.Build(1,1,n);
for(int i=1,opt,l,r;i<=m;++i)
{
double S,T;
scanf("%d %d %d",&opt,&l,&r);
switch(opt)
{
case 1:
printf("%.10lf
",SgT.Ans(l,r));
break;
case 2:
scanf("%lf %lf",&S,&T);
SgT.Add(1,l,r,S,T);
break;
case 3:
scanf("%lf %lf",&S,&T);
SgT.Change(1,l,r,S,T);
break;
}
}
return 0;
}
谢谢阅读。