2016 Multi-University Training Contest 2

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5738

题目大意：给定平面上的n个点，一个集合合法当且仅当集合中存在一对点u,v，对于集合中任意点w，均有dis(u,v)≥[dis(u,v)+dis(u,w)+dis(v,w)]/2。其中dis(A,B)为A,B两点的欧几里得距离。问你这样的合法集合有多少个。数据范围：1≤n≤1000。

解题思路：对于所给条件简单分析一下就能转化题意，实际上是在求有多少个集合满足集合内的点都在同一直线上。

比赛时的思路一直是，由于可能有重点，于是把重点整合到一个集合里，记一下集合里的个数cnt，那么对于这样一个重点的集合，从中任选至少两个都能作为合法点集，因此对答案的贡献是(2^cnt - cnt - 1)。下面考虑非重点，枚举重点集，对其他重点集按到此点集的距离从小到大排序，再依次枚举，用map记录一下斜率，就能在枚举过程中得到两个重点集之间的点个数K（也就是有多少个点也是这个斜率），对答案的贡献就是(2^cnt1 - 1)*(2^cnt2 - 1)*(2^K)。这样做思路应该没什么问题，只是常数比较大，代码难度也不小。一直到比赛结束也一直WA。

后来看了题解，思路比较清楚。对于这种数方案，要不重不漏的题目要记得使用有序化思想。而在二维坐标中，很常用的两种排序就是x,y双关键字排序，还有极角排序。

首先我们对这n个点做双关键字排序，然后对于x相同的点，个数为cnt，那么对答案的贡献就是(2^cnt - cnt - 1)，然后对于每个重点集，对它右面的点做极角排序，做这个排序的意义在于以下就把同一斜率的点搞到了一起，方便计算了。假设当前极角上有p个点那么对答案的贡献就是(2^cnt - 1)*(2^p - 1)。

值得注意的也是十分重要的，就是极角排序的正确做法。首先计算dx, dy，并除掉abs(gcd(dx,dy)),一定要取绝对值！！不然会WA得不明所以！！然后cmp()的时候不要把斜率化成小数比较，直接dyA*dxB<dxA*dyB这样比较可避免精度问题。

总之这道题思想难度不是很大，但是需要的技巧比较多，细节也比较多，是值得一写的题目。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MaxN = 1000, Pt = 1e9 + 7;
struct Point {
    int x, y, dx, dy;
}a[MaxN + 5], b[MaxN + 5];
int T, n;
LL Pow[MaxN + 5];
LL ans;

int Gcd(int x, int y)
{
    if (y == 0) return x;
    return Gcd(y, x % y);
}

void Init()
{
    scanf("%d", &n);
    Pow[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
        Pow[i] = (Pow[i - 1] * 2) % Pt;
    }
}

bool cmp(Point A, Point B) {
    if (A.x == B.x) return A.y < B.y;
    return A.x < B.x;
}

bool cmp2(Point A, Point B) {
    return (LL)A.dy * B.dx < (LL)A.dx * B.dy;
}

void Solve()
{
    ans = 0;
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    int L = 1, R = 1;
    while (L <= n) {
        while (R < n && a[R + 1].x == a[R].x) R++;
        //printf("%d %d
", L, R);
        ans = (ans + Pow[R - L + 1] - 1 - (R - L + 1)) % Pt;
        int l = L, r = L;
        while (l <= R) {
            while (r < R && a[r + 1].y == a[r].y) r++;
            //printf("**%d %d
", l, r);
            int tot = 0;
            for (int i = R + 1; i <= n; i++) {
                b[++tot].dx = a[i].x - a[l].x;
                b[tot].dy = a[i].y - a[l].y;
                int D = Gcd(b[tot].dx, b[tot].dy);
                if (D < 0) D = -D;
                b[tot].dx /= D; b[tot].dy /= D;
            }
            sort(b + 1, b + tot + 1, cmp2);
            int cnt = 1;
            for (int i = 1; i <= tot; i++) {
                if (i == tot || cmp2(b[i], b[i + 1])) {
                    ans = (ans + (Pow[r - l + 1] - 1) * (Pow[cnt] - 1)) % Pt;
                    cnt = 1;
                }else cnt++;
            }
            l = r + 1; r = r + 1;
        }
        L = R + 1; R = R + 1;
    }
    printf("%I64d
", ans);
}

int main()
{
    scanf("%d", &T);
    for (int i = 1; i <= T; i++) {
        Init();
        Solve();
    }
}