差分约束系统

差分约束系统

简单来说，差分约束是用图论中的最短路解决一些不等式(组)。

例如：Xi表示序列第i个数，请求出一组满足：X₁-X₅ <= 1, X₁ - X₃ <= 3, X₂ - X₄ <= -2的长度为5的序列

怎么建图？举个栗子，X₁-X₅ <= 1, 就从结点5向结点1连一条权为1的边。

X₁-X₅ <= 1　　->　　X₁ <= X₅ + 1

联想到最短路的性质：Dis(i) <= Dis(j) + edge(j, i).（dis_i是源点到i距离）

两个一一对应一下，把X1看成Dis(1)，X5看成Dis(5)，1就是这两个结点连出的边权，因此对于每一对Xi - Xj <= Wk, 就从j到i连一条权是Wk的边即可。

为了图的连通性（为了有个源点）最后再新建一个结点0，连到每个结点，长度是0（即Xi<=X0+0，因为X0不是题目中的结点，所以随意约定它的值不会影响答案）

从结点0跑单源最短路，满足这一系列不等式的的序列就是最后的Dis(1) 到 Dis(n)。

图中有负环时无解。

刚刚讲的是Xi - Xj <= Wk的形式，直接j到i连一条权为Wk，如果是 Xi - Xj >= Wk 的话，两边乘以-1，转换成Xj - Xi <= -Wk，所以最后的方法是：i到j连一条权为-Wk的边。

如果是Xi - Xj = Wk 呢？我们就建两条边，分别是Xi - Xj ≥ Wk ，Xi - Xj ≤ Wk。

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练习

例1∶Luogu P3275 糖果

if(x == 1) add(a,b,0),add(b,a,0);
else if(x == 2) add(a,b,-1);
else if(x == 3) add(b,a,0);
else if(x == 4) add(b,a,-1);
else if(x == 5) add(a,b,0);
if(x % 2 && a == b){
    printf("-1"); //同一人，但糖数不等，不符合逻辑
    return 0;
}

bool SPFA(int x){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    int k;
    s.push(x);
    visit[x] = 1;
    dis[x] = 0;
    while(!s.empty()){
        k = s.front();
        visit[k] = 0;
        s.pop();
        for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next)
            if(dis[edge[i].to] > dis[k] + edge[i].w){
                dis[edge[i].to] = dis[k] + edge[i].w;
                if(!visit[edge[i].to])s.push(edge[i].to),visit[edge[i].to] = 1,use[edge[i].to]++;
                if(use[edge[i].to]>n-1)return false;
            }    
    }
    return true;
}

例2∶Luogu P1250 种树

这类题又有些微的不同，Sum(n)是前n个单位种的树的棵树，好比前缀和，所以Sum(k+1)一定大于等于Sum(k)

1.Sum(k+1) ≤ Sum(k)

2.Sum(k+1) - Sum(k) ≤ 1

于是我们这样建边：

for(int i=1;i<=n;i++) add(i-1,i,1),add(i,i-1,0);

此时还能为了图的连通将0与每个点相连吗？

若建边用add(0,i,0),则按照题意就是 Sum(i)  -Sum(0) ≤ 0,这种建边方式不适用于这种类似前缀和的题。

于是我们只好选择点 L+1以保持图的连通。

for(int i=1;i<=n;i++) add(n+1,i,0);

最后，我们要求的是种最少的棵数，然而我们求出的关系是相对的。

举个栗子，3,4,5,9,2是一种方案，那么1,2,3,7,0是同样成立的。

于是我们最后要求的最少个数需要减去最小值

for(int i=0; i<=n; i++) minn = min(minn, dis[i]);
cout << dis[n] - minn << endl;

 例3：排队

某些粉丝之间互相喜欢，他们希望互相之间的距离至多为一个定值。但某些粉丝乊间互相厌恶，他们希望互相之间的距离至少为一个定值。现在给定K个互相喜爱的粉丝对以及他们乊间距离的最大值，L个互相厌恶的粉丝对以及他们之间距离的最小值。
你的任务是计算在满足以上条件的前提下，帮劣YSY计算出编号为1和编号为N的粉丝乊间距离的最大可能值。

【输入】
输入文件为 layout.in。
第一行有 3 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 N，K和L ；
此后K行，每行包含三个用空格分开的整数A, B和D，其中A,B满足1<=A<=B<=N。表示编号为A和B的粉丝之间的距离至多为D。
此后L行，每行包含三个用空格分开的整数A,B和D，其中A,B满足1<=A<=B<=N。表示编号为A和B的粉丝之间的距离至少为D。
【输出】
输出文件名为 layout.out。
输出文件仅包含一个整数。如果丌存在任何吅法的排队方式，就输出-1。如果编号1和编号N的粉丝间距离可以任意，就输出-2 。否则输出他们之间的最大可能距离。

【输入输出样例】
layout.in

4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3

layout.out

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【数据范围】

对于40%的数据，N<=100；
对于100%的数据，N<=1000；K, L<=10000；D<=1000000。

此题和上两题又不一样了，前两题不需要连通，那么我们新加一个点，连接每一个点以保证连通。

题意中“如果编号1和编号N的粉丝间距离可以任意，就输出-2”，说明图必须连通，所以我们只能选择现有的点。

for(int i=1;i<=n;i++) add(i,i-1,0);//Sum(i)>=Sum(i-1) 

if(!SPFA(1)) printf("-1");
else if(vis[n] == 0)printf("-2");
else printf("%lld",dis[n]);