拓扑排序

1.定义

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

　　1.每个顶点出现且只出现一次。
　　2.若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

2.应用

在整个工程中，有些子工程(活动)必须在其它有关子工程完成之后才能开始，为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。

一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行

3.实现

由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。

(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；

(2) 从网中删除此顶点及所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

4.训练

(附上某大佬的博客: https://dylanli-hang.github.io/2019/07/26/拓扑排序/ )
最基础的模板：
UVA10305 给任务排序 Ordering Tasks
https://www.luogu.org/problem/UVA10305
没有账号的同学去： https://vjudge.net/problem/UVA-10305 提交

需要处理一点的拓扑排序：
P1038神经网络
https://www.luogu.org/problem/P1038

拓扑排序保证无后效性+简单动规：
P1137 旅行计划
https://www.luogu.org/problem/P1137

可以用拓扑排序解决的：
P1983 车站分级
https://www.luogu.org/problem/P1983

模板题 相当直接的做法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define sizen 120
using namespace std;
int n,m;
int map[sizen][sizen],degree[sizen];
bool vis[sizen];

//若遇到入度为0的点，删除所有以该点为起点的边
void dfs(int i){ 
    for(int j=1;j<=n;j++) 
        if(map[i][j]){
            map[i][j] = 0;
            degree[j]--;
            if(degree[j] == 0)printf("%d ",j),vis[j] = 1,dfs(j);
        }
    return;
}

int main(){

    int u,v;
    while(cin>>n>>m){
        if(m == 0 && n == 0)break;
        memset(map,0,sizeof(map));
        memset(degree,0,sizeof(degree));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            map[u][v] = 1;
        }
        
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(map[i][j])degree[j]++;
        }
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(degree[i] == 0 && !vis[i]){
                printf("%d ",i);
                vis[i] = 1;
                dfs(i);
            }
        printf("
");
    }
    
    return 0;
}