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尾递归
这篇文章，我们讲尾递归。在递归中，如果该函数的递归形式表现在函数返回的时候，则称之为尾递归。
举个简单的例子，用伪码如下：
function Add(a, b)
if a = 0
return b
return Add(a-1, b+1)
end
上面这个函数实际上是两个数的加法，简单起见，只考虑非负整数，后面叙述具体语言总是会以这个函数为例子。所有的return部分都是不再依赖于递归，或者是返回Add函数，其参数的计算不再依赖于递归，典型的尾递归。
上述代码很容易用循环表示：
function Add(a, b)
while True
if a = 0
return b
end
a <= a-1
b <= b+1
end
end
所有的尾递归都可以用循环表示，只需要把传入的参数当成是状态，运算的过程当成是状态的转换。
比如Add(3,0)的计算就经过
3,0
2,1
1,2
0,3
这样的状态转换。
函数的计算会维护一个栈，每当遇到函数调用会记录当前运行的状态，如此在函数返回的时候可以恢复上下文。
比如，对于Fibonacci数列，伪码如下：
function fib(n)
if n < 3
return 1
end
return fib(n-1)+fib(n-2)
end
我们计算fib(4)，栈大致如下：
fib(4)
=>
fib(4)
fib(3)
=>
fib(4)
fib(3)
fib(2)
=>
fib(4)
fib(3)
fib(2) 1
=>
f(4)
f(3) 1+
=>
f(4)
f(3) 1+
f(1)
=>
f(4)
f(3) 1+
f(1) 1
=>
f(4)
f(3) 2
=>
f(4) 2+
=>
f(4) 2+
f(2)
=>
f(4) 2+
f(2) 1
=>
f(4) 3
=>
3
而作为尾递归，我们计算Add(3,0)，栈可能是如下过程：
Add(3,0)
=>
Add(3,0)
Add(2,1)
=>
Add(3,0)
Add(2,1)
Add(1,2)
=>
Add(3,0)
Add(2,1)
Add(1,2)
Add(0,3)
=>
Add(3,0)
Add(2,1)
Add(1,2)
Add(0,3) 3
=>
Add(3,0)
Add(2,1)
Add(1,2) 3
=>
Add(3,0)
Add(2,1) 3
=>
Add(3,0) 3
=>
3
对于Add函数，以上栈的长度与计算量成正比。如此，意味着计算量越大所需要的栈越大，甚至导致超过最大限制而无法运算。
同时我们发现，简单的转为循环表示的Add则没有这个问题。
这里，可以采用一个编译技术，就是尾递归优化，其一般情况是，如果一个函数的计算中遇到了完全转化成另一个函数调用的情况，那么栈的当前函数部分的信息可以完全抹去，而替换为新的函数。如此处理下，此情况栈不会增长。
Add(3,0)的栈的过程如下：
Add(3,0)
=>
Add(2,1)
=>
Add(1,2)
=>
Add(0,3)
=>
3
尾递归优化给了我们一种迭代的方式，之所以研究它，在于函数式编程会用到它。
注：递归论区分递归和迭代(迭置)，和计算机上定义有一点区别，在此不深入。
C/C++
我们从底层的语言开始，首先还是上面的加法实现。为了让范围更大一点，便于观察，我们使用unsigned long long类型。
/*add.c*/ unsigned long long add(unsigned long long a, unsigned long long b) { if(a==0ULL) return b; return add(a-1ULL,b+1ULL); }
再写一个main来测试它，用命令行参数去获得传入add的两个参数
#include <stdio.h> unsigned long long add(unsigned long long a, unsigned long long b); int main(int argc, char **argv) { unsigned long long a, b; sscanf(argv[1], "%llu", &a); sscanf(argv[2], "%llu", &b); printf("%llu ", add(a,b)); return 0; }
用gcc编译，
gcc add.c main.c -o a.out
运行一下，
./a.out 10000000 100000000
马上发生短错误，直接崩溃。看来C语言作为底层语言没必要支持这个啊？
于是我们开启优化，
gcc -O2 add.c main.c -o a.out
然后运行一下
./a.out 10000000000000000 10000000000000000
立即得到我们想要的值而没有发生崩栈
20000000000000000
看来……不对，1亿亿次迭代瞬间完成？
objdump反汇编一把，
00000000004006b0 <add>: 4006b0: 48 8d 04 37 lea (%rdi,%rsi,1),%rax 4006b4: c3 retq
……原来全被优化了，gcc现在还真强大，直接猜出语义，clang测一把也是如此。
这个并非我们想要的，我们得用其他手段去验证(其实我们可以抽出部分优化选项来，但此处讲的是验证思路)。
此处借助我在《相互递归》中讲的奇偶判断，分三个函数，实现如下，
/*sub1.c*/ unsigned long long sub1(unsigned long long x) { return x - 1ULL; }
/*is_odd.c*/ unsigned long long sub1(unsigned long long x); int is_even(unsigned long long x); int is_odd(unsigned long long x) { if(x == 0ULL) return 0; return is_even(sub1(x)); }
/*is_even.c*/ unsigned long long sub1(unsigned long long x); int is_odd(unsigned long long x); int is_even(unsigned long long x) { if(x == 0ULL) return 1; return is_odd(sub1(x)); }
上述函数是单独编写，甚至，减1的操作也单独用一个文件来实现。如此测试的原因，就在于，我们要排除掉整体优化的可能。
还需要写一个main函数来验证，
/*main.c*/ #include <stdio.h> int is_odd(unsigned long long x); int main(int argc, char **argv) { unsigned long long x; sscanf(argv[1], "%llu", &x); printf("%llu is %s ", x, is_odd(x)?"odd":"even"); return 0; }
以上四个文件单独编译，开启-O2优化选项(当然，其实main无所谓)
for i in sub1.c is_odd.c is_even.c main.c; do gcc -O2 -c $i; done
然后链接，
gcc sub1.o is_odd.o is_even.o main.o -o a.out
然后我们对一个很大的数来进行测试，
./a.out 10000000000
一会儿之后，程序打印出
10000000000 is even
以上可以证明，gcc/clang对于尾递归优化支持的挺好。实际上，很早之前大部分C语言编译器就支持了这点，因为从技术上来看，并不是很复杂的事情。而C++也同理。
Python
Python实现add如下
def add(a, b): if a==0: return b return add(a-1, b+1)
计算add(1000,0)就崩栈了，显然Python的发行是不支持尾递归优化的。
不过这里栈似乎小了点，可以用sys.setrlimit来修改栈的大小，这实际上是UNIX-like的系统调用。
有人用捕捉异常的方式让其强行支持尾递归，效率当然是损失很多的，不过这个想法倒是很好。想起以前RISC大多不支持奇边界存取值，比如ARM，于是在内核中用中断处理强行支持奇边界错误，虽然效率低了很多，但逻辑上是通过的。异曲同工，的确也是一条路，不过我还是更加期望Python在未来支持尾递归优化吧。
JavaScript
依然是用add测试，编写以下网页
<input type="text" id="in1" /> <input type="text" id="in2" /> <input type="button" id="bt1" onclick="test()" value="测试"/> <script type="text/javascript"> function add(a, b) { if (a==0) { return b; } return add(a-1, b+1); } function test() { a = parseInt(document.getElementById("in1").value); b = parseInt(document.getElementById("in2").value); try { alert(add(a,b)); } catch(err) { alert('Error'); } } </script>
就用1000000和0来测试，没看到哪个浏览器不跳出Error的……据说v8引擎做好了，可是人家就不给你用……
Scheme
然后我们来看Scheme，按照Scheme的标准一向强行规定Scheme支持尾递归优化。
我们实现add函数如下
(define (add a b) (if (zero? a) b (add (- a 1) (+ b 1))))
实现更为复杂的奇偶判断
(define (is-odd x) (if (zero? x) #f (is_even (- x 1)))) (define (is-even x) (if (zero? x) #t (is_odd (- x 1))))
使用Chez Scheme、Racket、guile测试，使用很大的数来运算，
然后使用top来观测程序的内存使用情况，我们发现，虽然CPU占用率可能是100%，但内存的使用并不增加。就连guile这样的一个小的实现都是如此，从而它们都是符合标准而对尾递归进行优化的。
Common Lisp
测完Scheme，再来测Scheme的本家兄弟，另外一种Lisp——Common Lisp
先用Common Lisp实现add，因为Common Lisp将数据和过程用不同的命名空间，导致代码有点奇怪(似乎很不数学)
(defun add(a b) (if (zerop a) b (funcall #'add (- a 1) (+ b 1))))
使用clisp来运行
(add 10000 10000)
结果就
*** - Program stack overflow. RESET
因为没有尾递归优化的规定，所以对于那种无限循环，Common Lisp只能选择迭代才能保证不崩栈，比如使用do。使用do重新实现add如下
(defun add(a b) (do ((x a (- x 1)) (y b (+ y 1))) ((zerop x) y)))
如此，终于不崩栈了。但是似乎也改变了Lisp的味道，do显然此处只能在设计编译器、解释器的时候就得单独实现，虽然按理Lisp下这些都应该是宏，但是无论用宏如何将函数式编程映射为显示的迭代，因为尾clisp递归优化不支持，则无法和系统提供的do一样。
sbcl是Common Lisp的另外一个实现，在这个实现中，我们使用第一个add函数的版本，没有发生崩栈。我们再来实现一下奇偶判断
(defun is-odd(x) (if (zerop x) '() (funcall #'is-even (- x 1)))) (defun is-even(x) (if (zerop x) t (funcall #'is-odd (- x 1))))
计算
（is-even 1000000000)
过了几秒，返回了结果t，证明了sbcl对尾递归做了优化。也终于给了我们一个更为靠谱的Common Lisp的实现。
AWK
选择一种脚本语言来测试这个问题，使用GNU awk来实现add
awk ' function add(a,b) { if(a==0) return b return add(a-1, b+1) } {print add($1, $2)}'
运行后，用top来观测内存占用
输入
100000000 1
让其做加法
内存使用瞬间爆发，直到进程被系统KO。
话说，awk没有对尾递归优化也属正常，而且对于内存的使用还真不节制，超过了我的想象。不过这也与语言的目的有关，awk本就没打算做这类事情。
Haskell
直接上如下Haskell程序来描述奇偶判断
is_even x = if x==0 then True else is_odd (x-1) is_odd x = if x==0 then False else is_even (x-1) main = print (is_even 1000000000)
用ghc编译运行，输出True，用时33秒。
Haskell不亏是号称纯函数式编程，尾递归优化无条件支持。
Prolog
本不想测prolog，因为首先它并没有所谓的函数，靠的是谓词演化来计算，推理上的优化是其基本需求。尾递归本不属于Prolog的支持范畴，当然可以构造类似尾递归的东西，而且Prolog当然可以完成，不会有悬念。
比如我们实现奇偶判断如下：
is_even(0, 1). is_even(X, T) :- M is X-1, is_odd(M, T). is_odd(0, 0). is_odd(X, T) :- M is X-1, is_even(M, T).
查询
?- is_even(100000000,S),write(S),!.
得到
1
Erlang
先写一个model包含add/even/odd三个函数，
-module(mytest). -export([add/2,even/1,odd/1]). add(A,B)->if A==0->B;true->add(A-1,B+1) end. even(X)->if X==0->true;true->odd(X-1) end. odd(X)->if X==0->false;true->even(X-1) end.
加载模板，并测试如下
1> c(mytest).
{ok,mytest}
2> mytest:add(1000000000,1000000000).
2000000000
3> mytest:even(1000000000).
true
4> mytest:odd(1000000000).
false
显然，Erlang对尾递归支持很好。
golang
编写add的实现如下
package main import "fmt" func add(a int, b int) int { if (a==0) { return b; } return add(a-1,b+1); } func main() { fmt.Println(add(100000000, 0)) }
运行
go run add.go
马上崩溃
Lua
Lua的作者和JS的作者一样是Lisp的粉丝，Lua的后期设计(从Lua4)据说参考了Scheme。
function odd(x) if (x==0) then return false end return even(x-1) end function even(x) if (x==0) then return true end return odd(x-1) end print(odd(io.read()))
运行
echo 1000000000 | lua5.3 x.lua
过程中，观察内存没有明显变化，之后打印出了false。
看来，至少参考了Scheme的尾递归优化。
Ruby
Ruby的作者松本行弘也是Lisp的粉丝，当然，我想大多数编程语言的作者都会是Lisp的粉丝，因为它会给人很多启发。
实现奇偶判断如下：
#!/usr/bin/ruby def odd(x) if x == 0 return 0 end return even(x-1) end def even(x) if x == 0 return 1 end return odd(x-1) end puts even gets.to_i
然而，数字大一点点，就崩栈了。Ruby并不支持尾递归优化。
尾声
测了这些语言以及相应的工具，其实还是在于函数式编程里，尾递归实现的迭代是我们经常使用的手段，编译器/解释器的支持就会显得很重要了。再深一步，我们会去想想，编译器/解释器此处该如何做，是否可以对现有的设计进行修改呢？或者，对该语言/工具的未来怀着什么样的期待呢？再或者，如果我们自己也设计一种编程语言，会如何设计这种编程语言呢？……