傅里叶分析
前言：傅里叶分析研究如何将一个函数或信号表达为基本波形的叠加。主要研究分支包括傅里叶级数和傅里叶变换。
参考：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
频域、时域 与 正弦波
频域类比音符，时域类比乐曲，音符是静止永恒的，乐曲是时间相关的且基于音符的。
频域：
时域：
正弦波：正弦波就是一个做圆周运动的质点的历史轨迹平铺在时间轴上，对质点运动照相，得到该质点该时刻的 "相"，就是相位，描述质点圆周运动时某一时刻的位置。
傅里叶级数、时域频域
傅里叶级数把类似波的函数表示成简单正弦波，定义是：将周期函数或周期信号分解成简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数。
[egin{aligned} f(t) &=frac{a_{0}}{2}+a_{1} cos (omega t)+b_{1} sin (omega t) \ &+a_{2} cos (2 omega t)+b_{2} sin (2 omega t) \ &+ldots \ &=frac{a_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty}left[a_{n} cos (n omega t)+b_{n} sin (n omega t)
ight] end{aligned}
]
其中
[egin{aligned} a_{n} &=frac{2}{T} int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) cos (n omega t) d t \ b_{n} &=frac{2}{T} int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) sin (n omega t) d t end{aligned}
]
傅里叶级数的图像为
傅里叶变换、时域 与 频域
傅里叶级数将一个时域上的波形转换为多个正弦波叠加，多个正弦波在频域上的表示是离散的；傅里叶变换则将时域上的波形转为频域上的连续图像。
原来频域上离散谱的叠加是求和，现在连续谱就是求积分。
时域转换至频域：
[hat{f}(xi)=int_{-infty}^{infty} f(x) e^{-2 pi i x xi} dxquad xi为任意实数
]
自变量 (x) 表示时间 ( 以秒为单位 )，变换变量 (xi) 表示频率 ( 以 Hz 为单位)。频域至时域：
[f(x)=int_{-infty}^{infty} hat{f}(xi) e^{2 pi i xi x} d xi
]
傅里叶变换的图像为
虚数 (i)、欧拉公式 与 指数
参考：复数的物理意义是什么？ - Heinrich的回答 - 知乎
复数 (i) 的物理意义是旋转，函数 (e^x) 图像是
指数加上 (i)，变成
欧拉公式描述一个在复平面上做圆周运动的点，在时间轴上运动轨迹成螺旋线，只看实部，是基础余弦函数，只看虚部，是基础正弦函数(几何形式理解)。
[e^{it}=cos(t)+isin(t)
]
当 (t=pi)，(e^{pi i}=cos(pi)=-1)，得欧拉公式：
[e^{pi i}+1=0
]
欧拉公式实现了正弦波与复指数的统一。在欧拉公式的支持下，正弦波的叠加可理解为螺旋形的叠加在实数空间的投影。
欧拉公式另一种代数形式理解，由泰勒公式展开：
[egin{aligned} e^x=1+x+frac{1}{2!}x^2+frac{1}{3!}x^3+...end{aligned}
]
[sin heta=x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5}x^5+...
]
[cos heta=1-frac{1}{2!}x^2+frac{1}{4!}x^4+...
]
当 (x=i heta)
[egin{aligned} e^{i heta}&=1+i heta+frac{1}{2!}(i heta)^2+frac{1}{3!}(i heta)^3+...\&=1+i heta-frac{1}{2!} heta^2-frac{1}{3!}i heta^3+frac{1}{4!} heta^4+frac{1}{5!}i heta^5+...\&=(1-frac{1}{2!} heta^2+frac{1}{4!} heta^4+...)+i( heta-frac{1}{3!} heta^3+frac{1}{5!} heta^5+...)\&=cos( heta)+isin( heta) end{aligned}
]
所以有
[cos (t)=frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}
]
在几何意义上理解这个式子就是 (e^{it}) 为逆时针旋转的螺旋形，(e^{-it}) 为顺时针旋转的螺旋线，(cos(t)) 是 这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
那么傅里叶变换的螺旋线表示为
总结
将复频域的螺旋形图投影至实数空间就得频域的波浪图，将频域的波浪图通过傅里叶变换得到最初的时域信号。