[上下界网络流][二分] Bzoj P2406 矩阵

题目描述

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数n、m，表示矩阵的大小。

接下来n行，每行m列，描述矩阵A。

最后一行两个数L，R。

输出格式：

第一行，输出最小的答案；

输入输出样例

输入样例#1：

2 2
0 1
2 1
0 1

输出样例#1：

1

说明

对于100%的数据满足N,M<=200,0<=L<=R<=1000,0<=A_{ij}Aij​<=1000

题解

• 这题的转换实在是太TM的神奇了！！！
• 首先，题目要求的其实是最大值最小，那么我们可以二分，将其转换为判断性问题
• 乍一看这个式子，一脸懵逼，再乍一看，其实就是要我们“最小化每行每列所有元素与给定矩阵差的和的绝对值中的最大值”
• 然后先设h[i]为第i行的和，l[i]为第i列的和
• 那么如果要满足二分出来的mid，那么一定要满足B矩阵的第i行总和为[r[i]-mid,mid+r[i]]，同列的话也是一样的
• 那么我们就可以把每列每行的看成一个点，原点向每个行点连边，上下界为[r[i]-mid,mid+r[i]]，列点向汇点连边，上下界为[c[i]-mid,mid+c[i]]
• 然后行列之间连边上下界为[L,R]，这样的话，问题就可以转换为是否存在二分图中是否存在一个可行流
• 那么跑一遍上下界网络流就好了

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,cnt,s,t,S,T,head[N],dis[N],cur[N],d[N],h[N],l[N],L,R,num[N][N];
struct edge{int to,from,v;}e[N*N*2];
queue<int> Q;
void insert(int x,int y,int v)
{
    e[++cnt].to=y,e[cnt].from=head[x],e[cnt].v=v,head[x]=cnt;
    e[++cnt].to=x,e[cnt].from=head[y],e[cnt].v=0,head[y]=cnt;
}
int dfs(int x,int maxf)
{
    if (x==T||!maxf) return maxf;
    int ret=0;
    for (int &i=cur[x];i;i=e[i].from)
        if (e[i].v&&dis[e[i].to]==dis[x]+1)
        {
            int f=dfs(e[i].to,min(e[i].v,maxf-ret));
            e[i].v-=f,e[i^1].v+=f,ret+=f;
            if (maxf==ret) break;
        }
    return ret;
}
bool bfs()
{
    for (int i=s;i<=T;i++) dis[i]=0;
    while (!Q.empty()) Q.pop();
    dis[S]=1,Q.push(S);
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.front(); Q.pop();
        for (int i=head[u];i;i=e[i].from)
            if (e[i].v&&!dis[e[i].to])
            {
                dis[e[i].to]=dis[u]+1;
                if (e[i].to==T) return 1;
                Q.push(e[i].to);
            }
    }
    return 0;
}
int dinic()
{
    int ans=0;
    while (bfs())
    {
        for (int i=0;i<=T;i++) cur[i]=head[i];
        ans+=dfs(S,inf);
    }
    return ans;
}
bool check(int x)
{
    cnt=1,memset(d,0,sizeof(d)),memset(head,0,sizeof(head)),s=0,t=n+m+1,S=n+m+2,T=n+m+3;
    insert(t,s,inf);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            insert(i,j+n,R-L),d[i]-=L,d[j+n]+=L,num[i][j]=cnt;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int p=max(0,h[i]-x),q=x+h[i];
        insert(s,i,q-p),d[s]-=p,d[i]+=p;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int p=max(0,l[i]-x),q=x+l[i];
        insert(i+n,t,q-p),d[i+n]-=p,d[t]+=p;
    }
    int tot=0;
    for (int i=s;i<=t;i++) if (d[i]>0) insert(S,i,d[i]),tot+=d[i]; else if (d[i]<0) insert(i,T,-d[i]);
    return dinic()==tot;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1,x;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&x),h[i]+=x,l[j]+=x;
    scanf("%d%d",&L,&R);
    int l=0,r=200000;
    while (l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if (check(mid)) r=mid-1; else l=mid+1;
    }
    printf("%d",r+1);
}