题解
- 题目大意:给定c个不能走的点,问从(0,0)到(n,n)不经过不能走的点和y>x的点的路径数量
- 首先30%的数据,很容易直接n^2dp就好了f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]
- 考虑一下反过来做,ans=全部的路径-不合法的路径
- 显然我们可知道从(0,0)到(x,y)的无限制的路径数=C(x+y,x)
- 那么现在就来考虑一下不合法的路径数
- 先考虑一下没有山脊限制的情况,设f[i]表示走到第i个路障的方案数(不经过其他的路障)
- 那么f[i]可以从其他路障的f[j]转移容斥过来得到,就是在经过第j个路障时容斥掉不合法的路径数
- 再考虑一下有山脊的限制,对于从(a,b)要走到(c,d),那么不碰到对称轴的方案数=所有走到(c,d)的方案数-所有走到(c,d)关于对称轴对称的对称点的方案数
- 就按照上面的方法做就好了,完结(撒花)
代码
1 #include <cstdio>
2 #include <iostream>
3 #include <algorithm>
4 #define ll long long
5 using namespace std;
6 const int N=100010,mo=1e9+7;
7 int n,c;
8 ll f[N],g[N],fac[2*N],ny[2*N],r;
9 struct edge { ll x,y; }a[N];
10 ll ksm(ll a,ll b) { for (r=1;b;b>>=1,a=a*a%mo) if (b&1) r=r*a%mo; return r; }
11 ll C(int b,int a)
12 {
13 if (a==0||a==b) return 1;
14 return ((fac[b]*ny[a])%mo*ny[b-a])%mo;
15 }
16 bool cmp(edge a,edge b) { return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<b.y; }
17 ll calc(int i,int j)
18 {
19 int x=a[j].x-a[i].x,y=a[j].y-a[i].y;
20 if (x<0||y<0) return 0;
21 if (a[j].y-1-a[i].x<0||a[j].x+1-a[i].y<0) return C(x+y,x);
22 return (C(x+y,x)-C(x+y,a[j].y-1-a[i].x)+mo)%mo;
23 }
24 int main()
25 {
26 scanf("%d%d",&n,&c);
27 for (int i=1;i<=c;i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
28 fac[1]=ny[1]=1; for (int i=2;i<=n*2;i++) fac[i]=(fac[i-1]*i)%mo,ny[i]=ksm(fac[i],mo-2);
29 a[c+1].x=n,a[c+1].y=n,sort(a,a+c+1,cmp);
30 for (int i=1;i<=c+1;i++)
31 {
32 for (int j=1;j<i;j++) (g[i]+=f[j]*calc(j,i)%mo)%=mo;
33 f[i]=(calc(0,i)-g[i]+mo)%mo;
34 }
35 printf("%lld",f[c+1]);
36 }