[数位dp][优先队列] Bzoj 3131 淘金

Description

小Z在玩一个叫做《淘金者》的游戏。游戏的世界是一个二维坐标。X轴、Y轴坐标范围均为1..N。初始的时候，所有的整数坐标点上均有一块金子，共N*N块。
    一阵风吹过，金子的位置发生了一些变化。细心的小Z发现，初始在(i，j)坐标处的金子会变到(f(i)，fIj))坐标处。其中f(x)表示x各位数字的乘积，例如f(99)=81，f(12)=2，f(10)=0。如果金子变化后的坐标不在1..N的范围内，我们认为这块金子已经被移出游戏。同时可以发现，对于变化之后的游戏局面，某些坐标上的金子数量可能不止一块，而另外一些坐标上可能已经没有金子。这次变化之后，游戏将不会再对金子的位置和数量进行改变，玩家可以开始进行采集工作。
    小Z很懒，打算只进行K次采集。每次采集可以得到某一个坐标上的所有金子，采集之后，该坐标上的金子数变为0。
    现在小Z希望知道，对于变化之后的游戏局面，在采集次数为K的前提下，最多可以采集到多少块金子？
    答案可能很大，小Z希望得到对1000000007(10^9+7)取模之后的答案。

Input

  共一行，包含两介正整数N，K。

Output

  一个整数，表示最多可以采集到的金子数量。

Sample Input

1 2 5

Sample Output

18

HINT

N < = 10^12 ,K < = 100000

对于100%的测试数据：K < = N^2

题解

• 求出每个数i可以被转移到的数目f[i]，则点(i，j)中的金子数目为f[i]*f[j]，就可以用优先队列求解前k大

• 首先所有的积数目在1e4左右，可以先dfs搜索出所有的数值，然后离散化

• 设f[i][j][k]表示i位数，积为j，到当前枚举位是否大于n，枚举第i+1位数转移

代码

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=4*1e5,mo=1e9+7;
ll n,f[15][N][2],num[N],sz[N];
int tot,K,ans,len,a[15];
struct node
{
    int x,y; ll v;
    node(int x,int y):x(x),y(y) { v=sz[x]*sz[y]; }
    bool operator < (const node& a) const{ return v<a.v; }
};
priority_queue<node> Q;
bool cmp(ll x,ll y) { return x>y; }
void dfs(int now,int dep,ll mul) { if (dep==len) num[tot++]=mul; else if (mul) for (int i=now;i<10;i++) dfs(i,dep+1,mul*i); }
int main() 
{
    scanf("%lld%d",&n,&K); ll tmp=n;
    while (n) a[++len]=n%10,n/=10;
    num[++tot]=0,dfs(0,0,1),sort(num+1,num+tot+1),tot=unique(num+1,num+tot+1)-num-1,f[0][2][0]=1;
    for (int i=0,r;i<=len;i++) 
        for (int j=1;j<=tot;j++) 
            for (int k=0;k<=1;k++) 
                if (f[i][j][k])
                    for (int x=i==0?0:1;x<10;x++) 
                        r=lower_bound(num+1,num+tot+1,num[j]*x)-num,f[i+1][r][(k+x)>a[i+1]]+=f[i][j][k];
    for (int i=1;i<=tot;i++) 
    {
        for (int j=1;j<=len-1;j++) sz[i]+=f[j][i][0]+f[j][i][1];
        sz[i]+=f[len][i][0];
    }
    sort(sz+1,sz+tot+1,cmp),Q.push(node(2,2));
    while (!Q.empty()&&K)
    {
        node u=Q.top(); Q.pop(),ans=(ans+u.v)%mo; 
        if (!(--K)) break;
        if (u.x!=u.y)
        {
            ans=(ans+u.v)%mo;
            if (!(--K)) break;
            Q.push(node(u.x+1,u.y));
        }
        if (u.x==2) Q.push(node(u.x,u.y+1));
    }
    printf("%d",ans);
}